非单调与分段变换
方法模板
一、非单调时公式法失效，只能走分布函数法
其中
二、多值反函数求和公式（
若方程
“每个原像各贡献一份密度”——单调时只有一个根，退化为公式法。
最常用的两个特例：
三、分段定义的
形如
时，把目标事件按
先看
四、取整变换：连续变离散
指数分布取整必得几何分布——这是”连续无记忆 → 离散无记忆”的桥。
五、
（第16章 加减法公式与上下界 里那两行的原样复用。）
注意
六、对称变换：先猜再验
但若
必考
1000 基础第2章 3
原题
设
(A)
解析
第一步，把
第二步，注意
是"正部的两倍"
这是一个”半截压平”的变换：负半轴整段被压到
一个点上，正半轴拉伸 2 倍。 结果
是混合型：
在
上有密度 。 见 概率积分变换与混合型分布——“把一段区间压成一个点”是制造混合型的标准手法。
别去算
却忘了 那一支 本题因为阈值 1 是正数，那一支恰好不贡献。但若问
或 ，两支都要算：
分段变换的题，先把两支都列出来再看哪支被阈值筛掉。
1000 基础第2章 11
原题
已知随机变量
解析
第一步，定范围。
第二步，分布函数法。 对
记
结果居然是均匀分布——这不是巧合
是一次函数，正是均匀分布的标志。 背后的道理：
的分布函数是
即
。而 恰好是使这件事成立的那个密度——这是概率积分变换的一个实例： ，所以 。 见 概率积分变换。
另解（多值反函数公式）
两个
880 第十七章综合解答 3
原题
设随机变量
求
解析
先验证这确实是密度
合计为 1 ✓ 这是”左半个标准正态 + 右半个指数”拼成的分布，左右各占一半概率。
第一步，定范围。
第二步，分布函数法。 对
左块用
（末步用
右块直接积：
相加：
验证端点：
第三步，求导。 用
（
用多值反函数公式一步到位，形式立刻清晰
代入本题的分段密度：
（正半轴用指数）， （负半轴用正态，且 是偶函数）。 两个原像分别落在密度的两个分支上——这正是本题被设计成”分段密度”的用意。
别忘了
要用负半轴那一支 最常见的错法是两个原像都代进
，得到 。 代入前先问：这个原像落在密度的哪一段？
，走正态那支。
880 第十七章综合填空 8
原题
设随机变量
解析
第一步，用上
第二步，拆成互斥两块。
（第二块：
第三步，代入
第二块最容易整个漏掉
很多人只算
就交卷。但 时 变成了很负的数，全部满足 。 自查：令
（ 极度分散，几乎必然很大），则答案 。合理——此时 几乎必然 ， 几乎必然是很负的数。 若漏了第二块，
时答案 ，与直觉矛盾。极限自查能立刻抓住漏项。
1000 强化第3章 3
原题
设随机变量
(A)
解析
这是上一题的同一个变换，但
结论：
证明。 对任意
②式中的条件是
代回：
（两块按
排除其余三项：
- (B)
，方差不同。 - (C) 具体算：
时 ； 时 。所以
是混合型（在
- (D)
同样是混合型。
与 880 综合填空 8 是一对绝妙的对照题
同一个分段翻转变换，作用在两个不同分布上：
题 的分布 与 结果 880 综合填空 8 （单边） ，翻转真的把 那段搬到负轴 的取值劈成 1000 强化 3-3 （对称） 翻转后与原来”长得一模一样” ，恒等变换
成立条件有两条：
关于 0 对称，且被翻转的集合 也关于 0 对称。缺一不可。 做完这一对，“对称性能省掉多少计算”就有了肌肉记忆。
与 同分布，但它们不独立、也不相等
时 。所以 (C)(D) 里的 不能当成”两个独立正态之和”来算。
这个区分在第18、19章（求
、判独立性）会反复用到。
拓展
880 第十七章基础解答 7
原题
设随机变量
解析
第一步，定值域。 对任意
第二步，
（
第三步，代
验证：
： ✓（与左段衔接， 连续）； ： ✓； - 单调性：
增大时 递增、 递减，两者相减必然递增 ✓
这一步定了整道题的结构 若没先看出这一点，会去讨论
的情形并算出负数，或者把区间写成 却没注意到 时它是空集。 通用做法：先把
的值域求出来，再写分段。 这是 单调变换 四步流程的第一步，非单调时更要紧。
顺带得到
的版本
因为
……更直接地： ，所以 。于是对 ：
与 之积恒为 1，是这道题的隐藏结构。
880 第十七章综合解答 2
原题
设连续型随机变量
解析
这是本章唯一一道”
第一步，定值域。
第三步，写分布函数（各段互不相交，概率直接相加）：
（
第四步，求导。 注意
上式其实就是 多值反函数求和公式
方程
的全部实根恰好是
而在每个根处
（所有根处都相同）。于是
特例：若
， 服从反正弦分布 此时只有一个根
落在支撑内， ：
正是 880 基础解答 2 里那个反正弦分布（取
）。 物理含义也对上了：简谐振动
的质点，在两个端点附近速度最慢、逗留最久，所以位置密度在 处发散。两道题从两个方向讲了同一件事。
这道题的答案 必须写成级数，不能只写一项
因为题目只说”
是连续型”，没有限定支撑。若 的支撑是整个 （如正态），确实有无穷多个原像都在贡献。 只有当题目额外给出”
的取值落在长度 的区间内”时，级数才退化为有限项。
1000 强化第3章 1
原题
设
(A) 参数为
(C) 参数为
解析
第一步，定取值。
第二步，算分布律。 对
第三步，对上几何分布的模板
(A) 把"参数"错认成
几何分布
的参数约定是成功概率 ，不是失败概率 。本题 ， 。 自查：
。而 ， 应略小于 （取整只会减小）， 合理 ✓ 若取 则 ，矛盾。
"指数取整必得几何"——一句话记住这个对应
深层原因：两者是唯一的无记忆分布（连续型是指数、离散型是几何），取整这个”离散化”操作恰好把前者送进后者。
验证无记忆性的传递：
，取整后 ✓ 两边的”无记忆”是同一件事。 见 无记忆性与寿命分布。
1000 强化第3章 7
原题
将长度为 1 的铁丝沿其上任一点折成两段，较短的一段长度记为
(1)
解析
(1) 先建模。 折点位置
(2) 面积
"较短的一段"服从
——把两半折叠到一起，密度加倍
在 上密度为 1；取 相当于把右半段沿 折回左半段，两层叠加，密度变成 2，区间缩到 。 总面积不变：
✓ 这与
的”折叠相加”是同一个操作： 。
求
不需要先求 的分布 用期望的无意识统计学家公式（LOTUS）：
硬去求
的密度（还得反解二次方程、判单调），是几倍的工作量而且容易错。
LOTUS 在第19章正式登场，这里是它的第一次出场。
顺带一提：
与第16章折棒题同源 第16章 880 综合选择 2 折的是三段（两个断点），本题折两段（一个断点）。
- 两段：
服从 ，可以直接算； - 三段：三段长度可交换，“哪一段最长”的概率各
。 断点个数决定了模型的复杂度，两道题合起来把这一族问题的两个层级都覆盖了。
链接
- 方法总纲：随机变量函数的分布
- 同章：单调变换求分布 · 概率积分变换与混合型分布 · 正态分布的标准化与比较
- 概念：常见连续型分布 · 无记忆性与寿命分布 · 分布中的对称性
- 上一章：第16章 古典概型与几何概型（折棒模型）· 第16章 max/min 的翻译
- 下一步：
的一般理论（LOTUS）见第19章 - 易错清单：第17章易错点
- 章节导航：第17章 随机变量及其分布 · 题库