考研笔记

绝对值的数字特征：对称化

🏠 第19章概念导航 · 数字特征题库

方法模板

一、全节的骨架：只有 需要真算

对任意随机变量 ，

取绝对值不改变平方——这个平凡的观察把工作量砍掉一半： 你本来就知道（由 和 算出），所以求的唯一新工作是求，看到”求 “，不要慌，先把 写下来，只剩一个一阶绝对矩要处理。

二、正态的半正态公式（必背）

推导（用一次就记住了）：

（关键动作： 可以凑微分，这是全章唯一一个不需要查 表的正态积分。）

再由第一条：。

记忆数值：，。所以 的期望约为 、方差约为 。

这个公式只对 均值为零的正态成立

时 要用 表达，考研不作要求。 所以做题第一步永远是把中心挪到 ：题目里的 、、 无一例外都是零均值的正态——这不是巧合，是出题人在配合这个公式。

三、正态线性组合：和与差的方差都相加

期望跟着符号走，方差不管符号一律相加。 的方差是 而不是 ——这是全章第一号笔误，见 正态的线性组合。

配合第二条，本节最常见的组合拳是：

独立同

四、对称性： 与 一定不相关

的分布关于对称

理由是奇偶性：，且 是奇函数，乘上偶密度后积分为零，故 。

推广到任意中心：

关于对称

（把 当作上面的 ；再由 与常数无关，。）

但 与 永远不独立—— 是 的非退化函数。这是本章最干净的”不相关但不独立”实例，见 不相关但不独立的反例谱。

五、离散型的 ：拆绝对值，用级数

对泊松等离散分布， 只能按定义拆：，配合模板级数 与”升阶降阶”技巧（）即可。注意求和起点，减掉的首项别忘。

必考

880 第十九章基础解答 3

原题 设 与 相互独立，且均服从 ，求 .

解析 第一步：把 认成一个零均值正态。，（注意方差是相加，模板第三条）故，第二步：套半正态公式。

若不背公式，两步算出来：；；故 。

是最致命的错法

若这么写会得到 退化为常数 ，进而 ——答案变成 0，全题崩盘。 方差不会因为取差而变小。 直觉：两个各自波动的量相减，波动只会叠加（独立时），不会抵消。

为什么

。取绝对值把负半轴”折”到正半轴，压缩了取值范围，方差自然变小。 一般地对零均值变量恒有 （因为 而 ）。这个不等号可以用来自检：算出的 若大于 ，必错。

880 第十九章基础解答 5

原题 设 ，，且 与 相互独立。求： (Ⅰ) 的概率密度；(Ⅱ) ，.

解析

(Ⅰ) 独立正态的线性组合仍是正态，只需算两个参数：，（系数要平方：。）故 ，

(Ⅱ) 零均值正态，，直接套模板第二条：

是设计好的

——出题人特意选 和系数 ，就是为了让 的均值恰好归零，好用半正态公式。 算完 (Ⅰ) 发现均值是 0，就该意识到 (Ⅱ) 是送分题。 反过来，如果你算出的 ，多半是把系数或符号弄错了。

自检： ✓，且 ✓

还可以粗查数量级： 的典型大小应当和 同量级，算得 ，约为 ✓ 与模板里记的 吻合。

1000 基础第4章 10

原题 设 是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量，则随机变量 的数学期望 . A. 　B. 　C. 　D.

解析 记号 表示 。于是，方差相加，恰好凑成标准正态。套模板第二条（）：

选 D。

与 880 基础解答 3 是同一个

880 给 问 ；1000 给 问 。 两本书都把方差配成 ，就为了让差恰好是标准正态，然后一个问期望、一个问方差，正好凑成半正态公式的两半。 连着做这一对， 与 就同时记住了。

记号 里第二个参数是方差

写成 是在提示”括号里那个是标准差”，即 、。 若误读成 ，会得到 ，答案变成 ——选项里没有，但在解答题里就是硬伤。看到根号套平方，慢一秒确认。

880 第十九章基础解答 4

原题 设 的概率密度为 ，. (Ⅰ) 求 和 ； (Ⅱ) 求 ，并判别 与 是否不相关； (Ⅲ) 问 与 是否相互独立？

解析 这是拉普拉斯分布（双边指数），密度是偶函数。

(Ⅰ) 由对称性 。二阶矩利用偶函数只算右半再乘 ：

（记住 ，本节反复用。）故

(Ⅱ)

被积函数 中， 是奇函数、 是偶函数，乘积是奇函数，在对称区间上积分为 ：

故与不相关

(Ⅲ) 不独立。 给一个反例即可：取事件 ，，则 ，故

而

二者不等，不独立。

更本质的理由： 是 的函数。若二者独立，则 与自身独立，从而 、 退化为常数——与 的取值遍布 矛盾。“非退化的函数不可能与原变量独立”，这句话可以当结论用。

这道题是本章的招牌反例

它在同一个变量对上同时展示了：

  • （不相关）✓
  • 有严格的函数关系（不独立）✓

比 那个反例更强：这里 甚至不是光滑函数，但关系依然是确定性的。 对称性是零协方差的唯一来源——把 换成 （，不对称），立刻有 、。对称性一撤，结论全变。

1000 基础第4章 14

原题 已知随机变量 ，实数 ，且 与 不相关，则 . A. 　B. 　C. 　D.

解析 一眼法（模板第四条）： 的分布关于中点 对称。取 时， 关于 对称， 是它的偶函数，故

选 B。” 必须取在对称中心”是这类题的通用答案。

硬算验证（确认唯一性）： 于 ，。

令其为零，乘以 ：，除 外， 或 ，都不在 内。故 唯一。

对称性论证十秒，硬算三分钟

两条路都通，但考场上必须走第一条。关键是养成”先找对称中心”的条件反射： 看到 与 求不相关，答案就是 的对称中心（若存在）。

  • → ；
  • → ；
  • 服从拉普拉斯分布 → （就是上一题）。

硬算的价值在于确认"唯一"

对称性只保证 是一个解，没排除别的。三次方程的另两个根都跑到 外，答案才唯一。 解答题里若问”求所有 “，就必须把三次方程解完。选择题走捷径，解答题走全程。

1000 强化第6章 19

原题 设总体 服从参数为 的泊松分布， 为来自总体 的简单随机样本，且对任意的正数 ，有 ，则 （　）. A. 　B. 　C. 　D.

解析 第一步：从极限条件定出 。

题给条件说的是 。由大数定律，样本二阶矩依概率收敛到总体二阶矩，故，对泊松分布 ，于是

（负根 舍去）。此时 ，所求即 ，其中 ，。

第二步：用模板第一条，只需算 。 二阶矩现成：，第三步：拆绝对值算 。 分 、、 三段：

关键级数（升阶降阶）：

（第一个和用了 再换元；第二个和是 减去 两项。）故，第四步：合成。

选 C。

题目里的 是一个数，不是随机变量

—— 是常数。 有人会把它读成 里的 还带着随机性，或者干脆算成 。这里 数值上恰好相等（泊松的招牌），所以两种读法答案相同，算是出题人留的余地。但概念上必须清楚： 是确定的数。

，落在 内 ✓

由第一条的普遍不等式 ，答案必小于 1，B、D 直接出局。 再看 A：，它对应 ，是把 算成 之后忘记平方的结果——这正是 A 存在的意义。，平方要平方到底。

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