考研笔记

混合型与乘积变换下的相关性

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方法模板

一、“部分与整体”的协方差：一步到位

与 独立时，

含义： 就是” 在总波动里占的份额”。 的方差越大， 对 的解释力越弱。

这个公式让所有""型的题变成填空：只要算出两个方差。

二、乘积的协方差：

与 独立时，

推导三行（全靠独立拆开乘积期望）：

一个漂亮的推论：

与不相关只要

“乘一个零均值的随机因子，就把相关性抹平了”——但绝不会抹掉依赖性（ 的大小仍受 控制）。这是本节制造”不相关但不独立”的标准配方。

三、随机符号引理（第18章接过来）

的分布关于对称只取且与独立

注意 取 的概率不必相等！理由：

中间一步用了 （对称性）。权重加起来是 1，所以怎么分都一样。 见 随机符号与混合型的制造。

但符号的偏斜会体现在协方差上：，所以 ——边缘分布不变，相关性却完全由 决定。这是本节最值得玩味的一条。

四、两两独立 相互独立

三个变量两两独立，未必相互独立

经典构造： 独立且各取 等概，令 。则

  • ✓（题设）
  • ✓（验四个格子，每格都是 ）
  • ✓（同理）
  • 但三者不相互独立：。

因为 被 完全决定（知道两个就知道第三个）。“任意两个都不透露信息，三个合起来却毫无秘密”——这是概率论里最著名的反直觉例子之一。

时

于是 ——商和积是同一个随机变量。这个陷阱在本节 1000 基础 15 里是全部题眼。 一般地， 恒成立的变量满足 。看到 取值的分母，先做这个替换。

五、混合型的密度：全集分解法

由一个离散因子和一个连续因子拼成时，按离散因子分支：，每一支都是连续型，加权求和。若各支恰好同分布，混合后仍是那个分布（模板第三条就是这种情形）。见 全集分解法。

必考

880 第十九章综合解答 7

原题 设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为 ， 在 上服从均匀分布. 求： (Ⅰ) 的分布函数与概率密度；(Ⅱ) 相关系数 .

解析

(Ⅰ) 用全集分解法，按 的两个值分支：

其中 ，，。分段代入：

  • ：；
  • ：；
  • ：；
  • ：。

两段拼出同一个表达式 ，所以

其他

即 。

(Ⅱ) ，（- 变量，）；。由模板第一条：

（与 的方差 吻合 ✓，这是对第 (Ⅰ) 问的绝佳验算）。

另解（直接套模板第一条的比例式）

一步。 而且它告诉你 —— 解释了 的四分之三的方差，因为 的方差（）是 的方差（）的三倍。

"离散 连续 连续"的漂亮巧合

一个纯离散的两点分布加上一个均匀分布，结果居然是干净的 。 原因：两个平移后的 段 与 恰好首尾相接、不重叠，各占一半概率，铺成 上的均匀。 如果 取 和 ，两段就会重叠，结果是梯形密度而不是均匀。这个”平移量恰好等于区间长度”的设计值得记住。

880 第十九章综合解答 9

原题 设随机变量 与 相互独立，且均服从 ， 的分布律为 ，，且 与 相互独立. (Ⅰ) 求 的概率密度 ； (Ⅱ) 求 与 的相关系数 ； (Ⅲ) 与 是否相互独立？说明理由.

解析

(Ⅰ) 全集分解，按 分支：，关键： 关于 对称，故 ，两支的分布函数都是 ：

这正是模板第三条的随机符号引理：权重 不对称也没关系，加起来是 1 就行。

(Ⅱ) 由 、：

而 ，故

（一般地 ，见模板第三条——本题 。）

(Ⅲ) 相互独立。 理由分两步：

  1. 与 服从二维正态（独立正态的线性变换），且

    在二维正态下不相关即独立，故 与 相互独立；

  2. 独立性在任意函数变换下保持，取 ，得 与 相互独立。

第 (Ⅰ) 问的结论极其反直觉，务必记牢

里混进了一个明显偏斜的符号（ 的概率取 ），结果 的分布与 一模一样。 但第 (Ⅱ) 问显示 —— 与 同分布，却不是同一个随机变量。 “同分布”和”相等”是两件事，这道题把它们的差别摆得清清楚楚。若 ，则 、；若 ，则 （不相关，但显然不独立，因为 ）。

第 (Ⅲ) 问必须点明"二维正态"

只说” 所以独立”是错的——一般情形下不相关推不出独立。 必须先论证 是二维正态（因为它是二维正态 的线性变换），才能从不相关跳到独立。这一句是采分点。

1000 基础第4章 15

原题 设随机变量 独立同分布于 ，，，则（　）. A. 相互独立　B. 相互独立 C. 两两独立　D. 不相互独立

解析 全部题眼在一行： 只取 ，故 ，即， 与 是同一个随机变量！ 认清这一点，四个选项瞬间分明。

  • A： 由 完全决定，三者不可能相互独立。 具体地 ，而 。✗
  • B：，二者完全相同，绝不独立（）。✗
  • C：同样因为 ，这一对就不独立，“两两独立”不成立。✗
  • D： 由 决定，与 A 同理不相互独立。✓

选 D。

恰好是"两两独立但不相互独立"的教科书例子

逐对检验（模板第四条）：

  • ：题设 ✓
  • ： ✓（四格同理）
  • ：对称 ✓

三对全独立，三个合起来却不独立。 所以选项 A 说”相互独立”是错的，但若改成”两两独立”就对了——出题人正是在这个字眼上设卡。

不要真去算 的分布

有人会认真地列 的四种取值再求分布律。做得出来，但完全没必要，而且容易在 这类地方出错。 先看 的取值范围：只要 取值都在 里，除法就退化成乘法。这个观察值 5 分钟。

拓展

1000 基础第4章 21

原题 设随机变量 与 相互独立， 的分布列为 ， 服从参数为 1 的指数分布，令 ，若 与 既不相关，也不独立，求： (1) 的概率密度；(2) 的值.

解析 先做第 (2) 问——它的答案是第 (1) 问的前提。

(2) 由模板第二条， 时， 给出 ，所以与不相关，而，故

（合法性检验：需要 且 ，即 ； ✓。此时 在 上等可能。）

“不独立”这个条件自动满足： 中 显然受 支配，例如 而 的其余部分连续—— 一旦很大， 要么是 要么也很大。题目写出”不独立”只是在描述情形，并不额外限制 。

(1) 是混合型：以概率 取原子 （当 ），其余 的概率连续分布。

在 的部分按 分支（各占 ）：

  • ：，落在 ，密度贡献 ；
  • ：，落在 ，密度贡献 （由 的密度对称翻折）。

（验算：，恰好是连续部分应有的总质量，剩下的 在原子上 ✓）

若题意是”给定 的条件密度”，则除以 ：

这正是拉普拉斯分布——与 绝对值的数字特征 里 880 基础解答 4 的密度一字不差。两道题从两个方向遇到了同一个分布：那里给你密度问性质，这里让你把它造出来。

记住这条配方："零均值的随机符号 任意正变量"

与不相关但不独立

本题用 等概；也可以用 等概（此时 是纯连续的拉普拉斯分布，）。 多加一个 的取值，就在 处造出一个原子——这是第18章”随机符号与混合型的制造”的招牌手法，在这里被用来同时满足”不相关”和”混合型”两个要求。

别把 算成 什么

协方差不是乘法运算，不能把 里的 提出来。 正确路径永远是回到定义：，再用独立性拆开每一个期望。 结果 里出现的是 不是 也不是 ——这个差别正是”减掉 “那一步带来的。

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