考研笔记

二维连续型的数字特征

🏠 第19章概念导航 · 数字特征题库

方法模板

一、二维 LOTUS 与三条省力路线

但直接做二重积分往往是最笨的一条路。 按优先级排序：

  1. 能拆就拆：、——只需两个边缘的期望，降成两个一维积分；
  2. 能用条件期望就用：，降成一维（见 条件期望与全期望公式）；
  3. 能认出分布就认：认出 、 是二维正态、 等，直接查表。

只有 无法分离、又认不出分布时，才老实做二重积分。

二、求边缘密度：定限是全部难点

（固定，沿竖直线扫描） （固定，沿水平线扫描）

积分限由支撑集给出，不是 。 这是第18章练过的老功夫，见 边缘分布与条件分布。

两个高频支撑集要有条件反射：

  • ：求 时 从 到 ；求 时 从 到 ；
  • （三角形）：求 时 从 到 ；求 时 从 到 。

三、独立时乘积的方差

注意它一般 ！只有 时才退化成 。

计算时不要展开那个乘积，直接算 、 两个数再相乘减掉，最省事。

四、二维正态密度的辨认

零均值、

辨认三步：

  1. 指数上没有 交叉项 独立（二维正态专属）；
  2. 把指数写成 ，分母的一半就是方差；
  3. 用常数 验算认对了没有。

见 二维正态分布。

五、必须记住的一个区域：三角形均匀分布

在上均匀，

这个分布在第18、19两章一共出现了四次，全部结论应当背下来：

不相关但不独立支撑集非矩形

它是本章”不相关但不独立”最重要的连续型实例，也是”给边缘 + 条件反造联合”的标准素材。

必考

880 第十九章基础填空 6

原题 设二维随机变量 的概率密度为 其他 则 ____.

解析 第一步：求边缘，认出 的分布。 固定 ， 从 到 ：

那个 被积分吃掉了（），干净地留下 ，故 。

第二步：无记忆性。 所求即

（也可以直接算：。）

的身份

它其实是”，且给定 时 “的联合密度：

一眼看出这个分解，边缘密度就不用积分了。 凡是联合密度能写成”只含 的因子 一个关于 的合法密度”，前一个因子就是 。 顺带一提，这个 的边缘是 ，期望不存在——第18章的 Lomax 分布。

题目问的是条件概率，不是

只是用来确定条件事件 的。算出 之后别停，也别直接答 。 **“先求数字特征，再拿它当区间端点”**是本章的一个固定套路，LOTUS 与级数技巧 那节的 1000 基础 7 是同一个模式。

880 第十九章基础解答 6

原题 设二维随机变量 服从区域 上的均匀分布. 求： (Ⅰ) 的概率密度；(Ⅱ) .

解析 正方形是矩形支撑集且密度为常数 ，故 独立且各自 。

(Ⅰ) 卷积：，两个因子同时非零要求 且 ，即，区间长度就是积分值除以 ：

  • ：长度 ，；
  • ：长度 ，。
其他

这是”帽子形”（三角形）密度，峰在 ——两个均匀分布之和总是三角形。验算面积： ✓

(Ⅱ) 不要用 去积分！ 用平方期望分解式：

第 (Ⅱ) 问完全不需要第 (Ⅰ) 问的结果

用 硬算 要分两段、每段算三次方，容易错。 而 只用到 的两个已知数字特征。两问之间没有依赖关系时，别自己制造依赖。 这也是一个自检机会：如果你顺手用 算一遍，应当得到同样的 。

的方差是

的方差是 ，不是 也不是 。 记忆：区间长度的平方除以 12。 给 ， 给 。

880 第十九章综合填空 6

原题 设二维随机变量 ，则 ____.

解析 记号给出 ，，，。二维正态且 ，所以 与 独立（这一步是必要的，否则不能拆乘积期望）。

用模板第三条，先各自算二阶矩：

独立独立

若误用 ，就错了。 只有当 时才有 。本题 ，那两个均值的平方实实在在地贡献了 里的一部分。 检验：若把均值都改成 ，则 ✓ 公式自洽。

记号 的读法

分号前两个是均值，分号后两个是方差（不是标准差），最后是相关系数。 本题写作 ，所以 （）、（）。 不同教材记号不一，做题时用”哪个数更像方差”来判断：若某个数写成 形式或明显是平方数，多半是方差。

880 第十九章综合解答 10

原题 设 2 维随机变量 的概率密度为

其他

(Ⅰ) 求 的联合分布函数 ；(Ⅱ) 求 ；(Ⅲ) 求 .

解析 先认出这个分布的身份（能让第 (Ⅲ) 问变成一行）：两个独立 的次序统计量，联合密度正是，与题给密度一字不差。所以

独立同

边缘（也可直接积分得到）：

（的参数相加）

(Ⅰ) 支撑集是 的楔形，必须分两个区域。

区域 1：（矩形 与楔形相交出一个梯形）：

区域 2：（此时 的限制被 自动满足）：

或

两处验算： 时第一式给 ，与第二式一致 ✓； 时第一式给 ✓。

（区域 2 的结果 ，正是”两个独立 的 “的分布函数——又一次印证了身份判断。）

(Ⅱ) 分母：，。

分子：区域是 。因为 时 ，约束 比 更强，故

关键的化简：， 完全消掉，被积函数成了常数：

(Ⅲ) 由 Rényi 分解（模板与 次序统计量的数字特征）：，故

另解（老实算两个边缘的期望）

因

认出"次序统计量"让这道题降了一个难度等级

一旦看出 （）是 两个 密度的乘积：

  • 不用积分（ 的参数相加）；
  • 不用积分（Rényi 分解），第 (Ⅲ) 问直接写 1；
  • 不用积分（ 配 ）。

通用信号：联合密度里出现 乘上 个相同密度、支撑集是”有序”的，就是次序统计量。

第 (Ⅱ) 问里 的下限是 不是

两个约束 与 要取较大者。在 的范围内始终是 更大。 若下限写成 ，就把 那块不该算的区域算进去了。画图确认哪条线在上面，比硬想快。

1000 强化第6章 8

原题 设 ，，，则 ____.

解析 辨认二维正态（模板第四条）。把指数整理成标准形：

对照 得，指数上没有 交叉项 独立，且均值都是 ：，验算常数： ✓ 与题给系数吻合，认对了。

于是

这道题只考"读参数"，不考积分

（因为 ）是全部计算。难点百分之百在于把 正确地拆成两个 。 最容易错的是把系数 2 挂反： 在分子上意味着 的方差更小（约束更紧），即 。 口诀：分子系数越大，方差越小。 若答成 ，就是挂反了。

一秒定符号

指数里 的系数比 大 的分布更”窄” 。 符号先定下来，就不会把答案写成负数。

1000 强化第6章 14

原题 设随机变量 的概率密度为 其他 在给定 的条件下，随机变量 在 上服从均匀分布. (1) 求 ； (2) 判断 与 的独立性、相关性，并给出理由； (3) 令随机变量 ，求 .

解析 先拼出联合密度（乘法公式）：

与 恰好抵消——所以 在这个三角形上服从均匀分布（模板第五条），。三角形面积 ✓

(1) 先求 。由 得 ，故，（也可由 关于 对称直接看出。）所以条件是 。

边缘密度（固定 ，沿水平线扫 ，范围 ）：，在 处 ，条件密度——即 。又因为 ，所求为

(2)

  • 不独立：支撑集是三角形，不是矩形——支撑集一票否决。
  • 不相关：，且
与不相关，但不独立

(3) 。用 （把 代入），定限来自支撑集：

（右边不等式 给出 ；左边 给出 。）被积函数恒为 ，故

其余为 。验算： ✓

这是三角形均匀分布第四次登场

前三次在第18章：边缘分布与条件分布 里以”给联合求条件""给联合求两种条件概率""给边缘+条件反造联合”三种面貌出现。 这一次问的是数字特征与函数分布，把这个分布的档案补完整了。 把模板第五条那一串结论背下来，这四道题全部变成填空。

第 (1) 问的区间要与 的取值范围取交

题目问 ，但 最大只到 。上界被自动截断成 1，答案是 而不是 。 出题人写 就是在测试你是否记得支撑集。任何概率计算前，先把事件与支撑集取交。

条件" "绕了一个弯

它其实就是 ，但必须先算出 才知道。这与本章反复出现的”先求数字特征，再拿它当条件”是同一个套路。 顺带注意：这是在一条线上取条件（，概率为零的事件），必须用条件密度，不能用 。第18章强调过 与 是两条不同的路，见 条件分布。

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