考研笔记

一维期望的计算：LOTUS 与级数/积分技巧

🏠 第19章概念导航 · 数字特征题库

方法模板

一、LOTUS：不求分布，直接求期望

或

英文叫 Law of the Unconscious Statistician（无意识统计学家定律）——名字的来历就是”人们不假思索地这么用，居然是对的”。

它的全部价值在于：求 不需要先求出 的分布。 第17章花了整整一章求 的密度，那套功夫在这里可以完全跳过。

什么时候必须回到第17章

只有题目同时要 的分布（密度/分布函数）时才求分布。若只问期望、方差，一律 LOTUS。 见 绝对值的数字特征——那一节里 用 LOTUS 三行搞定，求 的密度反而绕远。

二、三个级数模板（离散型的全部弹药）

离散型 LOTUS 的难点从来不是套公式，是求和。考研范围内只会用到这三个：

用法是”凑”：把 凑成 ，把 凑成 。凑完对号入座。

  • 第一个配泊松（分母有 ）
  • 第二个配几何分布求 （分母有 ）
  • 第三个配几何分布求 （分子有 ）

三、指数分布的”变换积分”一步到位

这就是矩母函数 ，但不必知道这个名字——记住”指数乘指数还是指数，把两个 加起来再配归一化常数”即可：

把被积函数配成另一个分布的密度，让积分等于 1——这是全章最省时间的一招，正态、指数、 都能用。

四、正态的”配方认人”

见 二次式 就配方。标准动作：

配方

这一条要背死： 是 前的系数（取正号），方差是它倒数的一半。详见 认出分布：配方与参数反解。

五、先求数字特征，再求概率

有一类题问的是概率，但概率的端点要靠 、 算出来。套路固定：

  1. 先老实算 、；
  2. 代回去变成一个普通的 ；
  3. 若端点大小关系依赖参数，必须讨论。

必考

880 第十九章基础选择 1

原题 设随机变量 服从参数为 的指数分布，则 的期望 . A. 　B. 　C. 　D.

解析 期望的线性性把两项拆开——这一步无条件成立，不需要任何独立性：， 给出 。第二项用 LOTUS：

故 ，选 A。

另解（配密度，不动笔算积分） 用方法模板第三条：，，考场上这一步是口算。记住 能省下所有 指数 型积分。

别把 算成

那样会得到 ，而正确值是 。，除非 是线性函数。 这里 是凸函数，由 Jensen 不等式必有 —— 正好印证。凸函数期望大，凹函数期望小，可以用来事后验算。

1000 基础第4章 1

原题 设随机变量 ，则 ____.

解析 分布律 。LOTUS：

另解（拆成独立同分布之和，几乎不用算） 就是两次独立试验，， 独立。于是

独立

这个另解才是真正的方法，不是省力的小聪明：把它推广到 立刻得到， 大的时候硬展开就没法做了。同样的分解在 指示变量法 里是主角。

需要独立， 不需要

上面用到的是乘积形式，所以独立性是必需的。这条界线是本章的主线之一，见 不相关的等价刻画。

1000 强化第6章 2

原题 设 服从参数为 的泊松分布，则 . A. 　B. 　C. 　D.

解析 。LOTUS：

关键一步是 ——把外面那个因子”吃进阶乘”。剩下的换元 ：

（注意求和从 起，要减掉 那一项 。）故 ，选 B。

另解（一般 的通式，值得记） 同样手法对一般 ：

代 即得 。“乘 、把 升成 、减掉首项” 是泊松型级数的固定三步。

为什么答案必然小于 1

恒成立，所以 ，A、B 都可能而 D 直接排除。再注意 这一项就贡献了 ，而 意味着 A 要求其余所有项贡献为 ——不可能。两秒排除到 B。

1000 基础第4章 6

原题 设随机变量 的概率密度为 其他 为 的分布函数， 为 的数学期望，则 ____.

解析 两件事分头算。

期望：。

分布函数： 时 。

于是所求概率

另解（概率积分变换，三秒） 是连续型且 严格单调，由第17章的概率积分变换，于是根本不用求 的表达式：，只需算 一件事。 这就是把 认成均匀分布的价值——见 概率积分变换。

一眼识别的信号

题干里同时出现 和 ，且 就是 自己的分布函数——这个组合出现就想概率积分变换。 同一个技巧在 次序统计量的数字特征 里再次出场（ 那道），届时可以对照。

1000 基础第4章 7

原题 设随机变量 服从参数为 的指数分布，则 落在数学期望 和方差 之间的概率为 ____.

解析 ，。指数分布的尾概率极好用：

代入两个端点：，。也就是说，两个端点被 一乘，分别变成 和 。

但 与 谁大谁小取决于 ，必须讨论：

  • ：，区间是 ，概率 ；
  • ：，区间是 ，概率 ；
  • ：两端重合，概率 。

三种情形可以合成一个式子：

（ 时自动为 ，无需单列。）

这道题的失分点不是积分，是"没讨论"

大多数人直接写 就交卷，只对了三分之一的情形。 凡是区间端点含参数、大小关系不定，就必须比大小。 绝对值是最省事的收尾方式。

顺手记住指数分布的"尺度"

、、——指数分布的标准差恰好等于期望，变异系数恒为 。这是识别指数分布的一个特征，见 常见分布数字特征表。

拓展

1000 基础第4章 4

原题 设随机变量 服从参数为 的几何分布，则 . A. 　B. 　C. 　D.

解析 几何分布 ，其中 。LOTUS：

“提出 把 补成 ” 是这里唯一的技巧动作，目的是凑出对数级数的标准形。由 （，这里 合法）：

选 D。

另解（不背级数，用积分把 造出来） 注意 。代入并交换求和与积分：

只用到等比级数。""这个恒等式把”带 的级数”降级成”等比级数 + 一次积分”，凡是记不住对数级数的场合都可以用。

极限验算

时 ，应有 。对答案 D 用 ： ✓。 时 极大，应有 。D 中 ✓。 两个端点一验，选择题就锁死了，B 在 时给 （错），C 在 时给 （错）。

1000 强化第6章 3

原题 设随机变量 服从参数为 的正态分布，其概率密度为 ，则 （　）. A. 与 有关，与 无关 B. 与 有关，与 有关 C. 与 无关，与 有关 D. 与 无关，与 无关

解析 先认出这是个期望：。看穿这一层，题就变成 LOTUS 的常规操作。

取期望，第一项是常数照抄，第二项里 正是方差：

结果只含 ， 被完全消掉，选 C。

另解（不算，只看结构） 作平移 ，，被积函数中的 随之消失：积分对 是平移不变的，故必与 无关，排除 A、B。再看 ：尺度变换会改变密度的高度（ 越小峰越高、 越大），不可能无关，排除 D。选 C。三十秒，一个字没算。

这个量的名字：微分熵

，是信息论里的微分熵，度量”分布有多分散”。 它只依赖 不依赖 ，恰好呼应本章的一条主线：期望是位置参数，方差是尺度参数——平移只动前者，缩放只动后者（见 方差、标准差与矩）。 考研不考熵，但**” 其实是 “这个识别动作**是标准的 LOTUS 应用，值得练。

链接

反向链接