考研笔记

指示变量法：把和拆开求期望

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方法模板

一、核心恒等式

对事件 ，定义指示变量（示性函数）

发生不发生

是因为 ——这个平凡的恒等式在算方差和协方差时省掉一大半功夫：，不用另算。

再加一条协方差：

（用到 ：两个都发生才取 1。）于是 与 不相关 与 独立——对 - 变量而言，不相关和独立是同一件事，这是本章唯一一个两者等价的场合（另一个是二维正态）。见 不相关但不独立的反例谱。

二、方法：见”个数""次数”就拆

每个位置一个指示变量

触发词：题目里出现”……的个数""……的次数""有多少个……”，几乎必然是指示变量法。

三、为什么这招这么强：期望的可加性不要任何条件

无条件成立

不需要独立，不需要同分布，甚至 之间可以有强烈的依赖。这是概率论里最”便宜”的定理，也是本节全部题目的公共基础。

与之对照，方差就挑剔得多：，只有两两不相关时才能丢掉后一项。期望随便加，方差要检查——这是全章反复出现的一条分界线。

四、这招最漂亮的战果：超几何分布的期望

件产品含 件次品，不放回取 件，次品数 ：

（与放回抽样完全相同！）

证明只有一行：令 表示”第 次取到次品”。由对称性，第 次取到次品的概率与第 次相同，都是 （不管前面取了什么——每一件产品被排到第 位的机会均等）。于是 。

如果按定义硬算，要面对，那是一场组合恒等式的苦战。指示变量法把它变成一句话。

期望一样，方差不一样

超几何的方差要乘有限总体修正因子：

二项的方差

因为 之间负相关（取走一件次品，后面取到次品的机会变小）， 把总方差拉低了。 口诀：不放回压缩波动，但不改变中心。

五、“随机的总数”：全概率的期望版

若袋中白球数本身是随机变量 ，则任取一球取到白球的概率是

白

“条件概率关于条件线性 直接把 代进去”——这是全期望公式最简单的一种用法，下一节展开讲。

必考

880 第十九章基础填空 1

原题 一袋中有 个球，其中白球数目 是一个随机变量，且 ，从袋中任取一球，则取得的球是白球的概率为 ____.

解析 白球数 本身随机，所以要先对 取条件。给定 时，取到白球是古典概型：白，全概率公式：

白

另解（指示变量，一步到位） 给这 个球编号 ，令 表示”第 号球是白球”。则白球数 ，且由对称性各 相同，故，而”任取一球是白球”的概率恰好就是任一个固定编号的球是白球的概率 （因为取球与球的颜色无关）。

记住这个形状：

“随机的比例”的期望 = “期望的比例”——因为 是 的线性函数，期望可以直接穿进去。 一旦条件概率对 是非线性的（比如 ），这一步就不能做了，必须老实求 。这是 的又一次现身。

880 第十九章综合选择 6

原题 已知编号为 的 3 个袋子中各有 3 个白球、2 个黑球，从 1,2 号袋子中各取出一个球放入 3 号袋子中，则 3 号袋子中白球个数 的期望与方差分别为（　）. A. 　B. C. 　D.

解析 3 号袋原本就有 3 个白球，这是常数部分；新增的是从 1、2 号袋各取一球带来的白球。令

从第号袋取出的是白球否则

每袋 3 白 2 黑，故 ，且 相互独立（两次取球在不同袋子里进行）。于是，期望（常数照抄，可加性拆开）：，方差（常数不贡献方差；独立故可加）：，选 B。

三个高频错法，选项全给你备好了

  • 忘了原有的 3 个白球 → 得 ，正是选项 A 的期望；
  • 给常数也算方差 → 会把 记成别的东西；
  • 方差用了 别的系数 → 落进 C、D 的 。

常数在期望里要加，在方差里要丢： 而 。这条是本章最基础的一条，也是最容易在慌乱中写反的一条。

880 第十九章综合填空 4

原题 设 15 000 件产品中有 1 000 件次品，从中任取 150 件进行检测，则检测到次品数 的期望 ____.

解析 服从超几何分布 。直接用模板第四条：

说明为什么可以这么快：令 表示”第 件抽出的是次品”。由对称性，无论 是第几次，——想象把 15 000 件产品随机排成一列取前 150 件，第 个位置上是次品的概率与位置无关。于是

"不放回"在期望这里是一句废话

期望只看边缘分布，而每一次抽取的边缘分布都相同（对称性），所以放回不放回给出同一个 。 抽样方式只影响 之间的相依结构，也就是只影响方差。 这句话记牢，超几何的期望题就永远是一个乘法。

1000 基础第4章 5

原题 设 10 个球中有 3 个红球、7 个白球，现从这 10 个球中无放回地抽取 3 个球，记取到白球的个数为 ，则 . A. 　B. 　C. 　D.

解析 同一个模板，小号数字：

选 B。

验算（用定义硬算一遍，确认公式没记反） 的取值为 ：

两种做法的工作量差距，就是这一节存在的理由。

排除法两秒

抽 3 个球，，所以 必在 与 之间——D 的 直接出局。 又因为白球占多数（）， 应当大于 1.5，排除 A、C。剩下 B。范围估计是选择题的第一道防线。

1000 强化第6章 1

原题 将 2 个红球和 1 个白球随机放入 3 个盒子中，每个盒子可放任意多个球，记 为没有红球的盒子个数，则 . A. 　B. 　C. 　D.

解析 先扔掉白球——问的是”没有红球的盒子个数”，白球放在哪里完全不影响 。这是本题第一个、也是最重要的判断。

对盒子（不是球）设指示变量：

第个盒子没有红球否则

两个红球各自独立均匀地落入 3 个盒子。第 个盒子没有红球，当且仅当两个红球都躲开它：，于是

选 D。

另解（求出 的分布律，笨办法） 两个红球的落法共 种，等可能：

  • 两球同盒（3 种）：恰有 2 个空盒；
  • 两球异盒（6 种）：恰有 1 个空盒。

两种做法都能做，但推广到 球 盒时只有指示变量法活得下来：。

指示变量要设在"盒子"上，不是"球"上

问的是盒子的个数，就对盒子编号设 。如果习惯性地对球设变量，会发现”第 个球”和”空盒个数”对不上，整道题卡死。 口诀：问什么的个数，就对什么设指示变量。

三个 并不独立

是不可能的（球总得放在某个盒子里），所以三者显然相依。 但期望的可加性根本不在乎这件事——这正是模板第三条的价值。若本题改问 ，就必须老实算 （负相关，符合直觉）。

1000 强化第6章 7

原题 设总体 服从参数为 1 的指数分布， 为来自总体 的简单随机样本，记 为 个观测值中不大于 1 的个数，则 的方差为（　）. A. 　B. 　C. 　D.

解析 “个数”两个字直接指向指示变量。令 ，则 ，且各 独立同分布（样本是简单随机样本），成功率

所以 ，

最后除以 要平方：

选 A。

，系数要平方

忘记平方会得到 （没有 ），四个选项里没有——但如果只除了一次 又漏了一个 ，就正好落进 B。 出题人把 、 都摆出来，就是等着数 的次数数错的人。 里 一共出现两次，分母必是 。

这道题的统计学身份：经验分布函数

就是经验分布函数 ——用样本里”不超过 1 的比例”去估计真值 。 它的期望恰好是 （无偏），方差 （相合）。第21、22章会正式讲这两个词，本题是它们第一次露面。 这也解释了 为什么在分母：样本越多，估计越稳。

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