考研笔记

次序统计量的数字特征

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方法模板

一、从第18章接过来的三件工具

独立

记法： 配 （都不超过才算）， 配 （都超过才算）。详见 max 与 min 的分布。

本节的任务是在这些分布上求期望方差——但大多数时候不必先求分布。

二、捷径一：尾积分公式（ 的天然搭档）

它对 特别舒服，因为尾概率直接是连乘：

对 则用 。

三、捷径二：（ 专用，极好用）

两个恒等式，一个求和一个求差。 于是

与的乘积

最后那条 是求 的关键——因为 与 作为无序对是同一堆数，乘积和求和都不变。

四、 的次序统计量（必背）

独立同

记忆图像： 个点把 切成 段，每段的期望长度都是 ，第 个点前面有 段。

三条直接推论：

极差公式 建议直接背： 时是 ， 时是 ， 时趋于 （点铺满整个区间）。

五、捷径三：对称性给概率

个独立同分布的连续型随机变量，任何一个是最小值（或最大值）的概率都是 ：

理由：连续型下 个值几乎必然互不相同，而它们的大小排列等可能是 种中的任何一种。不用积分。

六、指数分布的 Rényi 分解（本节的皇冠）

独立同 ，则

与相互独立

时更具体：， 且与 独立——这是无记忆性的直接结果（先等到第一个事件发生，剩下那个”重新开始”计时）。第18章已经用它做过 ，见 max 与 min 的分布。

于是 是两个独立部分之和，方差协方差全部秒算：

必考

880 第十九章综合填空 2

原题 设随机变量 独立同分布，且有相同的概率密度，则概率 ____.

解析 取对立事件：

是这个数中的最小者

（因为 不超过前 个的最小值，就等价于它是全体 个的最小值。）

由模板第五条的对称性， 个独立同分布连续型变量中，每一个当最小值的概率都是 ，故

"有相同的概率密度"是在保证连续型

有了密度就有 ，于是”并列最小”这种情形可以忽略， 个事件恰好构成一个划分、概率各为 。 离散型就不成立了：抛两枚硬币，，因为有 的概率相等。“连续型”这三个字是对称性论证的前提，不能省。

别去求 的分布

那要写 再和 做二重积分，还得处理未知的 。 答案与 无关——这个信号本身就在提示”该用对称性”。凡是答案里不出现分布信息的题，一律先找对称性。

880 第十九章综合解答 1

原题 在区间 内随机取 个数 . (Ⅰ) 求最大数与最小数之间距离 的数学期望； (Ⅱ) 若用 表示 个数中大于 的个数，求 和 .

解析

(Ⅰ) 。分别求两端的期望。

：（），，，：用尾积分最快，，

（期望的可加性无条件成立，所以哪怕 与 高度相依，这一步也照做不误。）

(Ⅱ) 令 ，则 ，各 独立同分布，成功率，故 ，

两问考的是两套完全不同的工具

  • (Ⅰ) 用次序统计量：变量之间强烈相依（ 恒成立）；
  • (Ⅱ) 用指示变量：变量之间完全独立。

同一批 ，问法一换，方法就换。判断标准：问”第几大”就是次序统计量，问”有几个满足”就是指示变量。 见 指示变量法。

的两个检验

  • 时 ， ✓（公式给 ）；
  • 时点铺满 ， ✓。

两个端点都对，公式基本不会记反。 若误记成 ， 处就爆炸了。

1000 基础第4章 8

原题 在 线段上随机投掷两点，该两点的距离为 ，求： (1) 的分布函数 和概率密度 ； (2) 的数学期望 .

解析 设两点为 ，独立同 ，。

(1) 用二维几何概型： 在单位正方形上均匀分布，

条带的面积

正方形面积为 ，条带的补集是两个直角三角形，每个直角边长 ：，即

其他

(2)

另解（直接用极差公式） 正是 的极差！由模板第四条一秒出答案。 这也反过来验证了上一道 880 综合解答 1 的公式。

这一对题应该连着做

880 求一般 的 ，1000 求 的完整分布。 1000 的第 (1) 问补上了 880 没要求的分布，而 880 的公式让 1000 的第 (2) 问变成口算。两题互为验算。 顺带记住 这个三角形密度：两点距离小的可能性大（挨得近的方式更多），密度在 处最高。

值得单独记

它等价于说”单位区间上随机两点的平均距离是 ”。 由模板第三条 ，这三个说法完全等价：极差、绝对差、距离。在 绝对值的数字特征 里 是另一条主线，这里给出了它与次序统计量的接口。

880 第十九章综合解答 4

原题 设随机变量 相互独立，且均服从参数为 的指数分布，记 ，. 求： (Ⅰ) 的概率密度 ；(Ⅱ) 期望 .

解析

(Ⅰ) 两个独立指数取 ，参数相加（模板第一条）：

（若要推：，正是 的尾概率。）

(Ⅱ) 现在 ，其中 、 独立但参数不同。用模板第三条的恒等式把 换成 ：，而 ——参数继续相加。于是

另解（老实求分布） ，展开

用尾积分：

两条路殊途同归——而且第二条揭示了第一条为什么对：容斥原理在分布函数上的展开，恰好对应 的容斥。

一律换成 再算

指数分布对 封闭（参数相加），对 不封闭（ 不是指数分布）。 所以标准策略是：用 把所有 换掉，然后一路都是指数分布。 三个变量时是容斥：。

880 第十九章综合解答 5

原题 设 相互独立同分布，其相同的概率密度为

为常数

求 的数学期望.

解析 先认出这是平移过的指数分布。 令 ，则，平移是单调递增变换，不改变大小顺序，所以取 与平移可以交换：，而 个独立 的最小值服从 ，故

验算（尾积分）：（），

时

样本越多，最小值越贴近分布的下端点 ——这正是第22章用 估计 的理由。 而且偏差 以 的速度收缩（比一般估计量的 快得多），这类”端点参数”的估计有其特殊性。本题是第22章参数估计的伏笔。

平移不能忘

若直接写 （漏掉 ），或者写成 （把 塞进分数），都是错的。 平移量原样加回去：标准部分，期望也就是 标准部分的期望。这里 是位置参数，只搬家不缩放。

1000 强化第6章 5

原题 设总体 服从分布 ，，， 是来自总体 的简单随机样本，记 ，，，则 ____.

解析 总体是 - 分布，所以 也只能取 或 ——这一点把题目简化到极致：对 - 变量，期望就是”取 1 的概率”。

所有 所有

故 ，，由期望的可加性

本身也是 - 变量，可以直接算

当且仅当样本中 和 都出现； 当且仅当全 或全 。于是

全全

这条路更快，而且解释了答案的形状： 减去两个”全同”的概率。

端点检验

  • ：只有一个样本，， 应为 。公式给 ✓
  • ：几乎必然两种结果都出现， ✓
  • ：， 时为 （四种等可能中有两种混合）✓

三个检验全过，答案稳。

1000 强化第6章 18

原题 设随机变量 独立同分布于参数为 1 的指数分布，令 ，，则 与 的相关系数为（　）. A. 　B. 　C. 　D.

解析 用 Rényi 分解（模板第六条），全程不做积分。

与独立

于是 是两个独立部分之和：

协方差更是一行：

独立

选 C。

另解（不用 Rényi，用恒等式 ） 注意 与 是同一堆数，只是排了个序，所以，于是 （独立）。再由 得 ，而 ，故 。

可由 反解： ✓

两条路都不需要写出 的密度。

与 是一对

排序不改变这堆数的和与积（这其实就是韦达定理： 是同一个二次方程的两根）。 凡是求 ，先写 ——独立时它等于 ，一步到位。

且不大，符合直觉

与 必然正相关（两个数整体偏大时，最大和最小都偏大），所以 D 之外的正数选项都可能。 但绝不会是 （ 不是 的线性函数），排除 D。 ——相关但不强，因为 里有一半”新信息”（那个独立的 ）。Rényi 分解把这个直觉变成了精确的算式。

拓展

1000 强化第6章 17

原题 设连续型随机变量 与 独立同分布，且其分布函数 为严格单调增加函数，若 存在，且 ，则 与 的协方差为（　）. A. 　B. 　C. 　D.

解析 两个关键翻译。

翻译一：（概率积分变换， 严格单调保证了它成立），故，翻译二：把 写成一个概率。 由 与 独立同分布，

（外层期望同时对 取。这一步是全题的枢纽：把 这个函数换成了一个关于两个变量的指示事件。）

记

由可交换性（ 独立同分布），把字母对调得 。于是

（对调后是）

由 解出 。最后

选 B。

一般结论值得记住

上面的推导没用到 这个具体数值，所以其实证明了通式：

独立同分布，连续

代入 即得 。 在最后一步完全约掉了——这正是答案与分布无关的原因，也是”四个选项都是纯数字”的信号。

这个协方差为什么必然为正

是单调增函数，所以 大则 大——两者同向，，A 立刻排除。 又 ，，由 得

这给出一个与 有关的上界。答案 对应 ，而 本身就是”分布有多分散”的一个度量（它叫 Gini 平均差）——所以这个公式在说： 与自己的分布函数的相关程度，正比于分布的分散程度。

别去猜" 服从什么分布"

题目没有给 的分布，只给了 。 有人会试着假设 （此时 ，对不上）或 （此时 ✓， ✓）。 拿一个特例去验算是好习惯（指数分布这个特例恰好满足条件，可以放心用来对答案），但不能拿它当证明——正解必须对所有满足条件的分布成立。

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