考研笔记

截断与混合型的期望

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方法模板

一、混合分布：期望按权重直接加

若分布函数是若干个分布函数的凸组合，则密度也是同样的组合 ，于是

是第个分布的期望

这条可以直接用，不需要任何推导——因为期望对密度是线性泛函。

方差 不能这样加

。正确做法是先算二阶矩再减：

整理后是组内方差 组间方差：

组内组间

后一项恒非负，所以混合总是把方差变大（除非所有 相同）。这正是全方差公式 的具体形态。

二、认出混合的信号

看到几个分布函数带正系数相加、系数和为 1，就是混合。 每一项 对应 ， 和 直接从括号里读：

注意 的均值是 不是 ——分子写成 才看得清楚。

三、截断：先翻译成 /

记忆： 是”给下界托底”（不会低于 ）， 是”给上界封顶”（不会高于 ）。

于是这类随机变量都是混合型：在 处有一个概率原子，其余部分连续。 在 处的原子质量是 。

四、非负随机变量的尾积分公式（本节的主武器）

推导一行：交换次序。

它为什么在这一节特别好用：截断变量的尾概率极其简单，而密度反而带原子、不好写。

一个有限区间上的定积分，被积函数就是原变量的尾概率。 这比”求 的分布 → 处理原子 → 再积分”干净得多。

同理对 ：（对 ）。

五、指数分布的截断期望（背）

后者靠无记忆性口算：，而”越过 之后还要等的时间”仍是 ，只是要乘上越得过去的概率 。

自检：两式相加应得 ✓（因为 ）。

必考

880 第十九章基础填空 4

原题 设随机变量 的分布函数 ，其中 为标准正态分布的分布函数，则 ____.

解析 系数 且都为正，这是两个正态分布的混合：

  • 以概率 服从 （因为 对应 ）；
  • 以概率 服从 （因为 对应 ）。

期望按权重相加：

另解（求导得密度，硬算） 对 求导：

（链式法则带出的 、 不能漏，它们正好把每一项配成合法的正态密度）。再积分：，绕了一圈回到同一个式子——这也说明模板第一条不是记忆负担，是必然结论。

的均值是

把 直接当成均值，会算出 。 标准化的标准形是 ，所以看到 要读成 。 这是本题唯一的陷阱，但踩中率很高。

顺手把方差也算了（考过）

，故 。 注意 大于两个分量的方差 和 的加权平均 ——多出来的 正是组间方差 ✓ 混合永远把方差撑大，因为不同分量的中心彼此拉开了。

1000 基础第4章 2

原题 设随机变量 ，记 ，则 . A. 　B. 　C. 　D.

解析 直接套模板第五条，、：，选 C。

另解（分段积分，验证公式） 当 ， 当 ：

另解（无记忆性，最能说明道理）

“已经等过 1 小时还没等到，那么剩下要等的时间与从头开始等完全一样”——所以那个条件期望就是 ，一个字不用算。

三个错误选项各对应一个具体错误

  • A（）：以为”取 之后期望就是 ”——，Jensen 不等式说 ，取等只在退化时。
  • B（）：只算了 那一段。
  • D（）：把第二段的 直接当成了答案，忘了第一段是 而不是 。

这个不等号可以用来秒排 A、B（答案必须大于 1）。

880 第十九章综合填空 3

原题 设随机变量 的概率密度为 ，则 ____.

解析 这是柯西分布——它自己没有期望（ 发散），但截断之后 有界，期望当然存在。“先封顶再求期望”正是这道题的设计意图。

用尾积分公式（模板第四条）：，柯西分布关于 对称，，故 ：

分部积分：

另解（直接 LOTUS，同样干净） 利用被积函数是偶函数：

两种做法工作量相当，但 LOTUS 版本更容易想到——关键动作是把 在 处断开，前段被积函数是 （凑微分出 ），后段是 （出 ）。

答案必须落在 内

且不退化，故 。算得 ✓。 再粗估一下：，所以有一半的概率 直接取到上限 ，这一支就贡献了 ；剩下一半概率里 ，贡献 。结构解释和数值完全吻合。

柯西分布没有期望，但它的截断有

千万别因为”柯西没有期望”就说这道题无解。 有界随机变量的期望永远存在——这是一个可以无脑使用的判据。同理 、 对柯西也都存在。 柯西在第18章作为”两个独立标准正态之商”出现过，见 积与商的分布。

拓展

1000 强化第6章 10

原题 设随机变量 的分布函数为 ，，，则 ____.

解析 第一步定 ：由 ，

求导：——这就是柯西分布，与上面那道 880 综合填空 3 是同一个分布、同一个问题，只不过一本给密度、一本给分布函数并藏了个待定常数。

于是答案相同：

这里换一条路走（不求导、不做分部积分），直接用尾积分公式，尾概率从 一步读出：

全程只用到 ，没碰密度。 这正是尾积分公式最舒服的用法：题目给什么就用什么。

两本书的这一对题值得连着做

  • 880 给密度 ，考的是”认出柯西 + 会截断”；
  • 1000 给分布函数 ，多考一步”归一化定 “，且用 求尾概率比用 更顺手。

记住柯西的两副面孔： 与 。看到 在分布函数里，就是柯西。

顺带记住柯西的三条性质

  1. 期望不存在（更别说方差）；
  2. 关于 对称，中位数为 ，四分位数为 （因为 ）——本题里 正是这条；
  3. 独立同分布柯西的样本均值仍是同一个柯西，所以大数定律对它失效（第20章会强调）。

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