考研笔记

概率积分变换与混合型分布

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一、概率积分变换：本章最漂亮的一条定理

设 是连续型随机变量， 是它自己的分布函数，则

证明（一行）：设 严格递增，对 ，，逆定理（造随机数用的）：的分布函数是，两条推论（都直接考过）：

对任何连续型都成立

二、认出” 作用在自己身上”

题目常把 藏起来，要自己认。判据：那个函数是不是 自己的分布函数？

题面那个函数是不是自己的
，是 →
，， 是 的分布函数不是 → 混合型
任意连续型是 →
是不是自己的这一问定生死

三、混合型分布：怎么产生、怎么写

产生机制只有一个：变换把 的一整段区间压成了一个点。

压平制造原子，拉伸保持连续

典型： 这种”截断函数”，把 全压到 。

写法要点：

  1. 分布函数 分段写，在跳跃点标清楚右连续；
  2. 跳跃高度 ；
  3. 混合型没有密度（在原子处密度不存在），只能写分布函数。

四、“离散选择 + 条件连续”型混合

某连续分布

则由全概率公式（第16章）：

这是加权混合，通常仍是连续型（各分支都连续）。与第三节那种”压平”不同。

五、“离散原子 + 条件均匀”型

题面：“，，在 条件下 在任一子区间取值的概率与长度成正比”。

翻译：“条件分布是均匀分布”，于是对 ：

条件均匀

再把两个原子加回去，就得到 。自查：。

必考

880 第十七章综合解答 1

原题

设随机变量 服从 的指数分布，求 的分布函数和概率密度.

解析

第一步，认出这是概率积分变换。 的分布函数正是，而题目要的 。 就是 自己的分布函数，所以

第二步，老实验证一遍（考场上建议写出来）。。对 ：

其他

中间那步 是整道题的收束点

所有的 都被约掉了——答案与 无关，这正是概率积分变换的招牌。

如果算出的 里还残留 ，一定是哪里错了。

概率积分变换的两个方向，都要会

  • 正向（本题）：任何连续型经自己的 一压，都变成 ；
  • 逆向：有了 的随机数，代进 就能造出任意分布。

逆向就是计算机生成随机数的反变换法：要造 ，解 得 ，等价于 （因 ）。

这正是 880 基础解答 5（）的来历——两道题是同一条定理的正反两面。

1000 强化第3章 4

原题

设随机变量 的概率密度为 其他 是 的分布函数，若 ，则 ____.

解析

这道题根本不需要算 。

第一步，用概率积分变换。 是连续型，故，第二步， 把 变成 （1000 基础 2-7 已证）：，第三步，直接读生存函数：

（数值约 。）

答案与 毫无关系——题目给的密度是纯粹的干扰项

结论 对任何连续型 都成立。命题人给出具体密度，就是想看你会不会一头扎进积分里。

老实算一遍作为验证（）：

记 ，则

绕了一大圈，回到同一个数。

记住这条"万能构造"

对一切连续型

它在可靠性里叫累积风险函数（cumulative hazard）：，而 总是标准指数。

用途：把任何寿命分布”拉直”成标准指数，便于统一检验。第22章的分布拟合检验会用到同一个思路。

880 第十七章综合选择 4

原题

设随机变量 服从参数为 的指数分布， 是区间 上的均匀分布的分布函数，记 ，则（　）.

A. 在区间 上服从均匀分布　　B. 是连续型随机变量

C. 是离散型随机变量　　D. 是 的分布函数的间断点

解析

第一步，看清 不是 自己的分布函数。

这是 的分布函数，而 。 概率积分变换不适用——那条定理要求 是 自己的。

第二步，写出 的分段形式。 因 （几乎必然）：

整段被压成了 这一个点：，第三步，写分布函数。

在 处：，跳跃高度 ，确实是间断点。

排除其余三项：

  • A： 在 有原子，不是均匀分布（均匀分布是连续型）。
  • B：有原子，不是连续型。
  • C： 在 上有连续分布（密度 ），不是离散型。
是混合型：一段连续一个原子

A 项是"看到 的分布函数就以为要出均匀分布"

概率积分变换的条件是 必须是 自己的分布函数。

记法含义结论
用自己的 ✓
，用别人的 一般不是均匀

本题恰好是最刺眼的反例： 是均匀分布的 ， 却是指数分布。命题人把两个”标准配件”错配在一起，看你会不会盲目套定理。

混合型的三个自查

  1. 原子在哪：找 把哪段区间压平了。本题压的是 ；
  2. 原子多重：；
  3. 连续段的密度： 在 上。

验证总质量： ✓

1000 强化第3章 6

原题

假设随机变量 服从参数为 的指数分布， 是区间 上的均匀分布函数，求随机变量 的分布函数 .

解析

这与 880 综合选择 4 是完全同一道题，两本书一个出成选择、一个出成解答

880 只问”下列哪句对”，张宇直接要 的表达式。做过一道，另一道是白送的。

沿用上题的推导。， 几乎必然，故

分三段写 ：

(i) ： 恒成立，故 。

(ii) ：此时 只能由 那一支贡献（另一支 ）：，(iii) ： 恒成立，故 。

核对三条性质：

  • 单调不减 ✓（中间段 递增，且 ）；
  • 规范 ✓（，）；
  • 右连续 ✓（在 处 ，取的是右边的值）。
是混合型：在上有密度，在处有质量

解答题必须把 和 两段都写出来

只写中间那一段是不完整的答案。分布函数的定义域是整个 。

另外注意分段点归属： 用左闭右开， 用闭——这样才右连续。若写成 与 ，在 处会给出 ，破坏右连续性。

拓展

1000 强化第2章 7

原题

设随机变量 的概率分布为 ，。在给定 的条件下，随机变量 服从均匀分布 ，且当 时 的分布函数为 ，则 .

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

这是”离散选择 + 条件连续”的标准结构，用全概率公式。

对 ，两个条件分布分别是 与 ：

因 因

代入：

与题给的 比较：

题目特意限定"当 时"，就是为了让两个条件分布都还在线性段

若 ，第一支已经饱和（），表达式会变成

不再是 的正比例函数。""这个限定是解题的钥匙，不是废话。

验证 时的完整分布函数：

在 处： 与 衔接 ✓ 处： ✓ 处处连续， 是连续型。

这种"加权混合"与前面的"压平"是两回事

机制例子结果
加权混合（各分支都连续）本题、[[20-Problems/Math/Probability/Chapter-17/topic-exponential-distribution-and-memorylessness#^p-zy-s2-91000 强化 2-9]] 的混合电池
压平（把区间压成点）[[20-Problems/Math/Probability/Chapter-17/topic-probability-integral-transform-and-mixed-type#^p-ll880-c-choice-4880 综合选择 4]]、

都叫”混合”，但一个是分布的凸组合（不产生原子），一个是变换的退化（产生原子）。别混。

1000 强化第2章 8

原题

设随机变量 的绝对值不大于 1，，。在事件 发生的条件下， 在 内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，求 的分布函数 .

解析

这是混合型分布的”教科书原型”：两个原子 + 一段均匀。

第一步，算连续部分的总质量。，第二步，翻译”与长度成正比”。 这句话说的是：条件分布 服从 。于是对 ：

第三步，把原子加回去，分段写 。

  • ：；
  • ：；
  • ：。

核对两个跳跃：

混合型分布函数的"三件套"结构

左端原子的阶跃常数连续段的爬升线性曲线右端原子的阶跃补到

写完必查两件事：

  1. 每个跳跃的高度 = 对应的点概率；
  2. 右端点处 。

本题两条都对上了，答案就稳了。

这一段的左端点要闭

因为 包含 。若写成 并让 ，就破坏了右连续性。

离散原子处，取的是跳完之后的值

这与 880 基础解答 1 写离散分布函数时的规矩完全一致。

这道题把第16章和第17章缝在了一起

  • “条件概率与长度成正比” = 第16章的几何概型（见 古典概型与几何概型）；
  • “把条件概率还原成无条件概率” = 第16章的乘法公式 ；
  • “两个原子 + 一段连续” = 本章的混合型。

三样拼在一起，就是一道完整的解答题。

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