全概率公式与贝叶斯公式
方法模板
一、两条公式，一个动作
其中
贝叶斯的分母就是全概率的结果，所以做题永远是同一个动作：
二、划分怎么找：题面里的”第一步随机性”
| 题面信号 | 完备组 |
|---|---|
| 先掷硬币再取球 / 先选盒子再取球 | 硬币正反、选中哪个盒子 |
| 甲乙丙三条生产线，次品率各不同 | 产品来自哪条线 |
| 两批零件，合格率不同 | 取自哪一批 |
| 患病与否，检测有误差 | 是否患病 |
口诀：谁的概率是”先天给定”的，谁就是划分。 后天观测到的那件事是
三、先验 → 后验：贝叶斯到底在干什么
右边这个比值是似然比：
看比例，不看绝对值——考场上求”哪个原因最可能”时，只需比较
四、贝叶斯更新后的”再预测”（本节最难的一步）
题目问”前两次都是红球，第三次也是红球的概率”时，流程是三段：
- 更新：用前两次的观测求后验
； - 预测：在每个
下算第三次的条件概率； - 再全概率：用后验权重加权。
关键在于第 3 步用的是后验而不是先验。若仍用先验，就等于假装前两次的观测没发生过。
五、“射击命中”型的逆概率
甲、乙独立射击，已知目标被命中，求”是乙射中的”概率：
必考
880 第十六章基础填空 3
原题
设
解析
划分就是
全概率：
这道题是"贝叶斯反直觉"的最小样本
在 下的发生率高达 ，在 下只有 ——似然比 倍。可观测到 之后， 的可信度只从 升到 ，仍然不到一半。 原因是先验太低：
的基数是 的 9 倍，即使每单位基数贡献少，总量仍然更大（ ）。 这正是”检测准确率 90% 的罕见病阳性者仍多半没病”的原型。先验低时，一次观测撬不动结论。
880 第十六章综合填空 1
原题
设甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.5 和 0.4，已知目标被命中，则它是乙射中的概率为 ____.
解析
记
"是乙射中的"与" 只有乙射中"是两道题
- 是乙射中的（本题）：
整块，含”甲乙都中”，答案 。 - 只由乙射中：
， ，答案 。 中文里”它是乙射中的”默认不排他，取
。若题目出现”恰好""仅""只”这三个字，才切到第二种。 一个自查：
。两个答案加起来超过 1 是正常的，因为两个事件有重叠；若按”只由某人”算，三块（只甲、只乙、都中）才加到 1。
880 第十六章综合解答 1
原题
设甲盒中有 4 个红球和 2 个白球，乙盒中有 2 个红球和 4 个白球，掷一枚均匀的硬币，若正面出现，则从甲盒中任取一球，若反面出现，则从乙盒中任取一球，设每次取出的球观看颜色后放回原盒中.
(Ⅰ) 若前两次都取得红球，求第三次也取得红球的概率；
(Ⅱ) 若前两次都取得红球，求红球都来自甲盒的概率.
解析
题意确认
硬币只掷一次，用来决定”这一整轮从哪个盒子取”，之后每次取球都在同一个盒子里进行（取后放回，所以盒内成分不变）。
依据有两条：其一，(Ⅱ) 问”红球都来自甲盒”，在”每次重掷”的读法下这句话才有意义地区分不了盒子归属；其二，若每次重掷硬币，各次取球独立同分布，
，(Ⅰ) 会退化成常数 ，与前两次的观测无关，问题本身就失去意义。 按本读法两问答案都是漂亮的分数（
、 ），进一步印证。
记
全概率：
(Ⅱ) 直接贝叶斯（“红球都来自甲盒”就是
(Ⅰ) 用后验权重再做一次全概率：
先做 (Ⅱ) 再做 (Ⅰ)，顺序反着来更省事
题目把”预测”放在前面、“更新”放在后面，但计算上必须先更新再预测。答题时可以先写 (Ⅱ)，(Ⅰ) 直接引用其结果。
信息量的直观：先验下
；观测到两次红球后，甲盒的可信度从 升到 ，于是下一次取红的概率从 升到 。 这条”观测 → 更新权重 → 重新预测”的链路，就是第22章贝叶斯估计的雏形，也是机器学习里”后验预测分布”的最简形式。
另解（(Ⅰ) 一步到位，不显式求后验）
这条路更快（只算两个全概率再相除），但看不见后验的变化。考场上求值用这条，理解时用上面那条。
拓展
880 第十六章拓展解答
原题
有 3 个盒子，第一个盒子中有 3 个黑球、1 个白球，第二个盒子中有 2 个黑球、3 个白球，第三个盒子中有 3 个黑球、2 个白球.
(Ⅰ) 任取一个盒子，再从该盒子中取出一个球，求这个球是白球的概率；
(Ⅱ) 已知取出的是白球，求此球属于第三个盒子的概率.
题源说明
880 第十六章的拓展解答题在原书中没有编号（正文直接以”有 3 个盒子”开头），本章池按 28 题计。锚点相应地省略编号，记作
p-ll880-ext-answer。
解析
记
注意三个盒子的球数不同（4、5、5），必须逐个算条件概率：
（第二、三个盒子的白球率恰好是
(Ⅱ) 贝叶斯：
别把三个盒子的球"倒进一个大袋子"
常见错法：把所有球混起来数，得到
——这是错的。 因为”先等概率选盒、再从盒中等概率取球”里，每个球被取中的概率并不相等：第一个盒子只有 4 个球，其中每个球被取中的概率是
；第二、三个盒子里每个球是 。球少的盒子里，单个球更”金贵”。 只有当各盒球数全部相同时，两种算法才一致。 命题人特意把球数设成 4、5、5，就是为了让这个错法露出破绽（
）。
验算：三个后验加起来必须是 1
贝叶斯题的标准自查就是这一条：所有后验之和为 1。
1000 强化第1章 5
原题
设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有
解析
这是 880 综合解答 1 的同构题：先验 → 观测 → 更新 → 再预测。
记
第三步，再预测。 注意”放回原处，并从原所在批次中再取”——第二次仍在同一批里，且成分不变：
与先验对比，看清"一次观测"值多少
若不做更新，直接用先验算第二次取到次品的概率：
更新后是
，降低了。这符合直觉：第一次取到合格品，是”全合格批”更可能给出的结果，于是全合格批的权重从 升到 ，次品风险随之下降。 一次观测把权重从
推到 ——推动幅度不大，因为两批的合格率差距（ 与 ）本身不大。似然比只有 。
"放回原处，并从原所在批次中再取"这句话是题眼
如果第二次是重新从两批中任取，那么第一次的观测对第二次毫无影响（重新掷一次先验），答案就是
。 正因为第二次锁定在同一批，前一次的信息才有价值。凡是贝叶斯更新题，都要先确认”后续观测与前面共享同一个隐藏状态”。
链接
- 方法总纲：全概率公式与贝叶斯公式
- 同章：条件概率的计算与化简 · 独立性判定与互斥辨析 · 伯努利概型与重复独立试验
- 概念：条件概率与乘法公式 · 古典概型与几何概型
- 易错清单：第16章易错点
- 章节导航：第16章 随机事件及其概率 · 题库