条件概率的计算与化简

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方法模板

一、定义就是全部

分子永远是”两个都发生”，分母永远是”条件那个”。 本节九成的题就是把分子分母各自算出来。

二、分子的化简：先动手交，再算概率

条件事件长得复杂时（、 之类），第一步一定是把分子的那个交集化掉：

待求	分子先化简	依据
		吸收律
，且

看见""先分配，看见互斥先删项，看见包含先吸收。 化简完往往只剩一个最简单的交。

三、条件概率的单调放大

条件只会把”母体”缩小，所以被包含的事件的相对份额只增不减。 取等当且仅当 或 ——所以严格不等号是错的。

四、逆用：由条件概率反解未知概率

条件概率式给的是一个方程。标准流程：

1. 把每个 按定义拆成 ；
2. 分子分母都用加减法公式化到只含 三个未知量；
3. 数一数方程个数够不够解出来。

五、抽样题的两条路

不放回抽取的条件概率，画树（乘法公式）与数组合（古典概型）都能走：

题面出现”已知……有一个是”时，一律按 “至少有一个” 读，而不是”指定的那个是”——两种读法答案不同，而且错的那个通常被摆在选项里。

必考

880 第十六章基础选择 6

原题

设 为任意两个事件，且 ，，则下列选项中正确的是（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

，故，因为 ，所以，能不能取等？ 当 时 ；当 时两边都是 0。等号确实可能，所以严格号 A 不对，只能选带等号的 B。

"取等能否发生"是选择题的胜负手

A 与 B 只差一个等号。凡是四个选项排成 的形状，命题人考的一定是取等条件，不是不等方向。

本题只要举出 这一种情形，A 就出局了。先找取等的极端构型，再定方向。

880 第十六章基础填空 4

原题

设 为随机事件，且 ，，，则 ____.

解析

先把已知补全：，，且，分子化简（关键一步）：，所以分子就是 。

分母：，（这里 是题目直接给的。）

是本题唯一的技巧

条件事件 里含着 ，而待求事件是 ，两者一交就把 那一支整条删掉。

通用形式：

记住这个模板，下一题（1000 基础 1-8）会反过来用它。

880 第十六章基础解答 1

原题

设事件 相互独立， 互不相容，且 ，，，，求下列概率：

(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

解析

先把两个结构性条件翻译清楚：

再由 补出交：，(Ⅰ)

(Ⅱ) 分子化简——把 分配进去， 那支为空：

(Ⅲ) 由 得 ，故 ：

三个小问，三种分子化简，正好覆盖模板表

• (Ⅰ) 不涉及条件；
• (Ⅱ) 用互斥删项：；
• (Ⅲ) 用包含吸收：。

特别注意 (Ⅲ) 这一步——“互不相容”除了”删项”还能读成”包含”，这个双面用法本章反复出现。

1000 基础第1章 12

原题

设 是 3 个随机事件，其中 与 相互独立， 与 互不相容，，，，，则 ____.

解析

与上一题结构完全相同，只换了数字。 照搬流程：

两本书的同一道题

李林 880 基础解答 1 与张宇 1000 基础 1-12 是同一道题的两个数字版本：条件的组织方式（一个独立、一个互斥、一个条件概率）一字不差。

880 那道多问了 (Ⅰ)(Ⅲ)，张宇这道只留了最难的 (Ⅱ)。做过一道就等于做过两道，重点是记住""这一步为什么成立。

1000 基础第1章 7

原题

设事件 满足 ，，则 ____.

解析

第一步，读出隐藏条件。 两个条件概率的分子都是 ：，第二步，设一个未知量解方程。 记 。由 得，代入 ：，于是 ，。

第三步，对偶。

立刻写

这条在 880 基础填空 1 里已经露过一次面。它不是巧合，是定义的直接后果：同分子、值相等，必然同分母。

少了这一步，本题就有 三个未知量却只有两个方程，解不出来。

拓展

1000 基础第1章 8

原题

已知 发生且 不发生的概率为 ，在 发生或 不发生的条件下 发生的概率为 ，若 发生的概率为 ，则 发生的概率为 ____.

解析

先逐句翻译：

第二句正是 880 基础填空 4 的模板，只是这次要倒着用。

由第一、三句得，分子化简仍是 ，于是

再展开分母：，令其等于 ：

又一对"正着考 / 反着考"

	已知	求
880 基础填空 4
1000 基础 1-8

同一个恒等式

一次当公式用，一次当方程解。做完这一对，这个模板就再也不会忘。

1000 基础第1章 11

原题

设 ，，其中 互不相容， 相互独立，则 （　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

分子用吸收律：，所以

即

分母展开：，两个结构条件各出一份力：

• 独立 ；
• 互不相容 。

代入 ：

" 与 互不相容"能一路杀到三事件的交

。很多人在这一步卡住，是因为只把互斥当成""来用，忘了它是集合等式，可以继续往下传。

对照 880 基础选择 2：那里强调” 推不出 “；这里是反向——题目直接给了 ，那就放开了用。

1000 强化第1章 1

原题

设口袋中有 10 个球，其中 6 个红球，4 个白球，每次不放回地从中任取一个，取两次，若取出的两个球中有 1 个是白球，则两个都是白球的概率为（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

先把题面读准：“有 1 个是白球” = 至少有一个是白球。记，注意 ，所以 。

用组合数（不放回取两个，等价于一次取两个）：

选项 (A) 就是"读成指定球"的答案

如果把条件读成”第一个取出的是白球”，那么剩下 9 个球里有 3 白，答案是

正好是选项 (A)。命题人把错误读法的结果明码标价摆在第一个选项。

两种读法的差别在于条件事件的大小：

• “至少一个白”包含 种；
• “第一个是白”只包含 种有序结果（对应 的概率）。

母体不同，比值自然不同。这就是男孩女孩悖论的原型，第18章讲条件分布时还会再遇到。

另解（直接数样本点，避开补集）

无序取两球共 种，等可能。

• “至少一个白”： 种；
• “两个都白”： 种，且已包含在上面 30 种里。

古典概型下条件概率就是在缩小后的样本空间里数比例：，这条路更能说明条件概率的本质：把母体从 45 换成 30。

链接

• 方法总纲：条件概率与乘法公式
• 同章：概率的加减法公式与上下界 · 独立性判定与互斥辨析 · 全概率公式与贝叶斯公式
• 概念：样本空间与事件代数 · 古典概型与几何概型
• 易错清单：第16章易错点
• 章节导航：第16章 随机事件及其概率 · 题库