考研笔记

第16章 随机事件及其概率 易错清单

🏠 第16章概念导航 · 随机事件题库

按”出现频率 × 扣分幅度”排序，前八条是重灾区。

1. 把”互斥”当成”独立”

错在哪：两者不但不同，在正概率下还互相排斥。互斥独立，正确动作： 时，互斥不独立独立相容，典型：880 基础选择 3——条件给”独立”，问”不正确的是”，答案就是”互不相容”。

记法：互斥是最强的负相关（ 来了 就绝无可能），独立是零相关。方向相反，不是同类。

2. 概率为零当成不可能，概率为一当成必然

错在哪：概率是测度，测度为零的集合可以非空。

反例：在 上均匀取点，单点集概率为 0 却非空；、 满足 而 。

正确动作：选项里出现 、 这类纯集合符号，而条件只给了 ，一律先划掉。

典型：880 基础选择 2（D 项 ）、1000 基础 1-5（A 项 ）。

反向是成立的：题目直接给 时可以放开用，还能往下传（）。

3. “都不发生”与”不都发生”

错在哪：一字之差，补事件完全不同。

全不发生不全发生
中文补事件
至少一个发生全不发生
不全发生 = 至少一个不发生全发生

典型：880 基础解答 2 三小问，就是把这三个词一次考完。

记法：“不全”重音在”全”（不是全部），“全不”重音在”不”（全都没有）。

4. 帕斯卡型的组合数上标写成

错在哪：“第 次恰好第 次成功”锁死了最后一次，组合数只能在前 次里挑。正确：错误：典型：880 基础填空 6——正确答案 ，错答 ，差 3 倍。

记法：组合数的上标 = 可自由安排的格子数。 最后一格被锁死，就只剩 格。

5. “至少”忘了写

错在哪：算出了补事件的概率却直接交卷。

典型：880 综合选择 1——正确 ，选项 B 摆着 （全错的概率）、选项 C 摆着 （恰好对 1 题）。三个错项各对应一种典型错法。

正确动作：看到”至少”两个字，先在草稿纸上写下 ，再去算补事件。

6. 减法公式写成

错在哪：正确的永远是，无条件成立。只有 时才能进一步写成 。

自查： 必须非负，若算出负数就是套错了公式。

7. 分子直接抄题目里的事件，忘了做交

错在哪： 的分子是 ，不是 。条件事件复杂时更容易漏。

化简三招：看见 先分配，看见互斥先删项（），看见包含先吸收（）。

典型：880 基础填空 4、1000 基础 1-11（）。

8. 对条件概率的”竖线后面”做运算

错在哪： 对竖线前面是完整的概率测度（加法、减法、容斥全能用），对竖线后面没有任何规律。

正确的只有：——横线只能加在竖线前面。

典型：1000 基础 1-6 的 ②③ 两条错项，根源都在这里。

9. 逆事件只取”相反的那一种”，漏掉中间态

三种结局（甲胜/乙胜/平局）里，甲胜 是”乙胜或平局”，不是”乙胜”。

自查： 必须等于 1。

典型：1000 基础 1-2。

10. “已知有一个是白球”读成”指定的那个是白球”

错在哪：两句话抠出的条件事件（母体）大小不同。

读法结果
至少有一个是白（正确）
第一个是白

典型：1000 强化 1-1——错误读法的答案 明码标价摆在选项 (A)。

记法：中文里”有一个是”默认”至少一个”。 这是男孩女孩悖论的原型。

11. “是乙射中的”算成”只由乙射中”

乙中命中只有乙中命中

中文默认不排他，取前者。 出现”恰好""仅""只”三个字才切到后者。

典型：880 综合填空 1。

12. 把多个盒子的球倒进一个大袋子

错在哪：“先等概率选盒、再从盒中等概率取球”时，球少的盒子里单个球被取中的概率更大。

典型：880 拓展解答（球数 4、5、5）。混算得 ，正确答案 。

只有各盒球数全同时两种算法才一致。

13. 贝叶斯更新后仍用先验做预测

错在哪：“前两次都红，第三次也红”必须用后验权重加权：，用先验等于假装前面的观测没发生过。

典型：880 综合解答 1（，若用先验会得 ）。

捷径：，两个全概率一除。

14. 贝叶斯题不做”后验之和为 1”的验算

这是贝叶斯题唯一可靠的自查，三十秒就能发现算错的那一支。

15. 成功率各异却套二项公式

错在哪： 的前提是各次 相同（各排法概率相等）。

典型：880 基础解答 3——三次命中率 0.4、0.5、0.7，“恰好一次”的三项分别是 ，差着 3 倍多，无从”乘 3”。

通用形式：。

16. 最可能值用期望四舍五入

错在哪：正确判据是 ，不是 。，反例：。，四舍五入得 3；而 ，。

恰为整数时有两个并列最大值，必须都写。

典型：880 综合解答 2。

17. 独立性当成可传递、可遗传

取即崩 取即崩

典型：1000 强化 1-4，两条都是假的。

根源：独立是一个乘法等式，不是”没有关系”这种可传递的定性属性。

18. 用打包原则时共用了字母

规则： 相互独立时，只含 的事件与只含 的事件独立。

失效： 与 共用了 。

典型：880 基础选择 4，四个选项里唯一重叠字母的就是答案。

快速判定引理：且独立或，有包含关系的两个事件，除非退化，一定不独立。

19. 两两独立当成相互独立

三事件相互独立要额外验 。

经典反例：掷两枚硬币，第一枚正，第二枚正，两枚相同——两两独立但 。

解答题里写”由两两独立得相互独立”直接扣分。

20. 三事件容斥漏项或符号写反

口诀：交的个数每加一个，符号翻一次。

缺 时先去两两交里找零：任一 就有 （因 ）。

典型：880 基础填空 2。

21. 概率的上下界忘了截断

时不截断就会答出大于 1 的”概率”。

典型：880 综合填空 2（）。

22. 几何概型漏掉”自动满足”的那一块

求 在 内的面积时， 那条整条竖带都满足，不能只积双曲线下方。

判据：把变量推向极端（），看约束是否自动成立。

典型：880 基础填空 5——漏掉会得 ，正确 。

形状预判：乘除型约束（双曲线）→ 答案含 ；加减型约束（直线）→ 有理数。

23. “中间段最长”与”能构成三角形”混淆

中间段最长能构成三角形

典型：880 综合选择 2—— 就摆在选项 C。

24. 直接对 建模

正确动作：先算 （连乘），再作差。，典型：1000 基础 1-10。

这条路子与 的分布函数（第17章次序统计量）是同一件事。

25. 不放回却套二项公式

不放回时各次不独立、 在变，两条前提全丢。

“测试后不放回”五个字一出现，立刻放弃 ，改走古典概型（随机排列 + 组合数）或超几何分布。

26. 古典概型分子有序、分母无序

最常见的整题崩。先决定用哪种计数，然后从头到尾不换车。

  • “任取两个”→ 无序，；
  • “依次取出”→ 有序，。

两条路答案相同，混用则必错。

27. 选择题里忽略”取等能否发生”

时 ，等号在 或 时成立。

判据：四个选项排成 的形状时，考的一定是取等条件，不是不等方向。先找取等的极端构型。

典型：880 基础选择 6。

28. 选项要求题目没给的额外数值，却没划掉

独立只给 ，不给 。

所以""（等价于 ）这种选项，和它的否定项要一起划掉——两者都可能发生，谁也不是”对一切情形成立”的正确选项。

典型：880 基础选择 7 的 A、B 两项。

29. 四格表的符号规律记反

口诀：横线数目的奇偶决定符号——同时逆两个不变号，只逆一个则变号。

典型：1000 强化 1-3，四个选项里三个是”只逆一个”，方向全反。

几何记法： 是 列联表的行列式。交换一行或一列变号，对角整体交换不变号——和线代第10章一模一样。

30. 把充分条件当成必要条件（“假命题”题的标准造法）

比 弱。所以”由前者推出 “是假命题。

反例只需取 。

典型：1000 强化 1-2 的 (D)。

通用策略：判”假命题”先试三个退化构型——、、 互斥。

链接

反向链接