伯努利概型与二项模型

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核心问题

同一个试验独立重复很多次，“成功了几次”服从什么规律？ 这一问把第16章与第17章连了起来：本章用组合数硬算，第17章把它命名为二项分布，第20章告诉你 很大时它长得像正态。

三种问法对应三种分布，它们的差别只在于”什么被固定住了”：

固定	问	分布
试验次数	成功几次	二项
成功次数	试了几次	帕斯卡（负二项）
成功次数	试了几次	几何

核心定义 / 定理 / 结论

伯努利概型

次试验，相互独立，每次只有成功/失败两种结果，成功概率恒为 （）。

三个公式

帕斯卡的写法要点：把最后一次单独拎出来，组合数只在前 次里挑。

换元形式（“第 次成功之前恰好失败 次”，令 ）：

独立事件的三句口诀

“至少一个”与”不全”的补事件不同——前者补”全不”，后者补”全发生”。

成功率各异时的”恰好一次”

不同就不能用 ——那个”乘 “的前提是各排法概率相等。

二项分布的最可能值

概率先升后降，转折点在 。 与期望的关系：，即 与 相差不超过 1，但不一定是最近的整数（： 而 ）。

奇偶次数：取半和

来源：母函数 ，

典型题型

1. “至少一个”走补事件（最基础的送分题）
2. 帕斯卡型（“第 次恰好第 次成功""成功 次前失败 次”）
3. 成功率各异的独立试验（逐项枚举，不能用组合数）
4. 最可能值（比值法）
5. 奇偶次数（取半和）

图示 / 直觉

把 次试验画成一行 个格子，每格填”成”或”败”。

• 二项：格子数固定，问”成”的个数 → 从 个位置挑 个，；
• 帕斯卡：最后一格锁死为”成”，前 格里挑 个 → ；
• 几何：前 格全”败”，最后一格”成” → 没有组合数。

这一句能同时解释三个公式，也能一眼看出 与 的区别在于第 6 格有没有被锁死。

二项分布的形状： 随 先升后降，峰在 处。 越大越对称、越像钟形——这就是第20章棣莫弗—拉普拉斯定理的图像来源。

常见误用

1. 帕斯卡型写成

“第 6 次恰好第 2 次命中”是 ，不是 ，差 3 倍。

判据：题面锁死了最后一次，组合数上标就减 1。

2. 成功率不同却套二项公式

三次射击命中率 0.4、0.5、0.7，“恰好一次”必须写成三项之和（），它们各不相同， 无从谈起。

3. “全不发生”与”不全发生”混用

4. “至少”忘了写

，不是 。选项里往往同时摆着补事件的值。

5. 最可能值 = 期望四舍五入

不对。用 ，别用 。 恰为整数时有两个并列最大值，都要写。

6. 忘了独立性前提

伯努利概型要求各次独立且 恒定。不放回抽样两条都不满足（ 随抽取变化），必须走古典概型或超几何分布，见 古典概型与几何概型。

与旧知识的连接

高数：

• 二项式定理 ——这就是二项分布的归一性；
• “取半和”抽奇偶项的手法与傅里叶级数里分离奇偶谐波同源；
• 几何分布的归一性 就是等比级数求和。

组合数学： 与”插板法”、路径计数一一对应。1000 基础 1-4 的格点路径题正是二项系数的几何形象。

后续章节：

• 第17章：二项分布 、几何分布、泊松分布（ 时的极限）；
• 第19章：，；
• 第20章： 大时 （棣莫弗—拉普拉斯）；
• 第22章：给定成功次数后各排列等可能——这正是”成功次数是充分统计量”，1000 基础 1-4 是它的第一次露面。

题型训练

• 伯努利概型与重复独立试验（7 题）——本页的主战场
• 独立性判定与互斥辨析（9 题）——独立性是伯努利概型的前提
• 古典概型与几何概型（5 题）——不放回时的替代路线

链接

• 同章概念：事件的独立性 · 概率公理与容斥原理 · 古典概型与几何概型
• 易错清单：第16章易错点
• 章节导航：第16章 随机事件及其概率 · 题库