离散型二维分布：比较与求和
方法模板
一、对称化三分法（本节的唯一公式）
任意两个随机变量把样本空间分成三块：
一切归结为算一个
这是第16章"取半和"的同一个技巧
——先用对称性把两块打包，再用归一性劈开。 第16章的 是同一个式子，见 伯努利试验与二项模型。
二、
几何意义：这是分布律向量与自己的内积
三、几何级数是常客
离散题的求和几乎总落到
几何分布（
（用了
四、“是不是二项分布”的三步核对
看到”下列服从二项分布的是”，按顺序查：
- 取值集合必须是
——连续的非负整数，从 0 开始。出现负数、跳号（如 ）立刻出局； - 概率形状必须是
； - 独立同分布的
- 变量之和才是二项——加法可加，减法不可加。
永远不是二项分布（除非退化） 二项分布取值非负，而
关于 对称地取到负值。 同理” 与 同为二项 二项”也要同一个 且独立，见 可加性表。
必考
880 第十八章综合选择 1
原题 设随机变量
A.
解析 这是几何分布
因式分解
另解（排除法，30 秒） 用极端值 + 概率必须在
- 令
（几乎必然 ），真值应 。A： ✗（超过 1，出局）；C： ✗；B： ✗；D： ✓ - 只剩 D。
（A、C 在
这个结果的直观：
总在 内，且 越小越小
小意味着分布”摊得很开”，两次独立试验撞到同一个 就越难。 时得 ——这个特例马上会在 1000 强化 4-1 里出现。
1000 题基础篇第3章 6
原题 设离散型随机变量
解析 把上一题脱去具体分布，只剩骨架。事件
回代检查：几何分布
有个名字：碰撞概率（也叫 Simpson 指数 / Rényi 熵的指数） 它衡量分布的”集中度”：
- 退化分布（某个
）： ，必撞； 点均匀分布： ，这是取值只有 个时的最小值（柯西不等式取等条件是均匀）； - 取值无穷多时可以任意接近
。 所以
，永远是合法概率——可以拿来验算答案。
1000 题基础篇第3章 5
原题 设两个相互独立的随机变量
解析
解法一（对称化三分法，推荐）
解法二（取补，最快）
解法三（列表，最笨但零风险） 四种等可能情形
与 在离散型下差一个 ，且这个量不为零
，与 相差 。 连续型下 （对角线是零测集），两者才相等——离散型千万不要顺手把 写成 。 这是第17章”连续型下 与 不必区分”的反向提醒。
1000 题强化篇第4章 1
原题 设
A.
解析 第一步永远是定
（顺带确认
第二步：
答案
出现两次不是巧合，而是三分恰好均分
——三块一样大。 这只在 的几何分布上发生：由 880 综合选择 1 的通式 ，令它等于 解得 ✓ 两道题互为验算：一个给通式，一个给特例，答案对得上说明两边都没错。
选项里的
是诱饵 B、D 都含
，可题目的 早在归一性里被钉死成 了——最终答案必须是纯数。 凡是”分布律含未知参数”的题，第一步必是归一性定参数；答案里还留着参数，一定漏了这一步。
1000 题基础篇第3章 1
原题 设随机变量
A.
解析 先按方法模板第四条查取值集合：
| 选项 | 取值 | 判定 |
|---|---|---|
| A. | 有负数、且跳号 ✗ | |
| B. | 形状对，待验概率 | |
| C. | 有负数 ✗ | |
| D. | 全非正 ✗ |
只剩 B，验证概率。令
正是
另解（结构识别，一眼看穿） 令
关键换元
：把 标准化成 这个”把
变量转成 - 变量”的换元在概率论里到处都是（对称随机游走 ↔ 二项分布）。 反向换元 则把二项分布转成随机游走的位移，第20章中心极限定理里还会再用一次。
链接
- 方法总纲：联合分布与边缘分布
- 同章：联合分布函数与联合分布律 · 全集分解法 · max 与 min 的分布
- 概念：随机变量的独立性 · 卷积公式与可加性 · 常见离散分布
- 旧知识：伯努利试验与二项模型（取半和） · 事件的独立性
- 易错清单：第18章易错点
- 章节导航：第18章 多维随机变量及其分布 · 题库