连续型的离散化：指示变量的联合分布

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一、题型识别与标准流程

题面长这样：

在区域 上服从均匀分布，令 ，，求 的联合分布律……

这是本章最套路化的大题，四步走：

1. 画 ，把每个条件对应的分界线也画上（通常是直线，常过原点）；
2. 被分成若干块，每一块对应 的一个取值组合；
3. 逐块算概率（均匀分布时 = 面积比）；
4. 填表 + 判独立（ 用行列式 ）。

二、最关键的一招：逻辑蕴含制造零格

先看条件之间有没有蕴含关系，能白送好几个格子。例如

于是 ""（）蕴含 ""（），格子 直接是 。

副产品：表里有零格 ⟹ 通常不为零 ⟹ 不独立。有蕴含关系就几乎注定不独立。

三、区域是圆/扇形、分界线过原点 ⟹ 用极角

均匀分布在以原点为心的圆盘或扇形上时：

于是所有”过原点的直线”划出的概率只看张角：，常见直线的极角：

条件	极角

这一招能把一道大题压成口算。

四、 表的相关系数（ 系数）

分子就是第16章的四格表 （也是 行列式）。特别地，对 表，“不相关”与”独立”等价——这是除二维正态之外唯一享有此特权的情形。

（该公式与取值无关，- 变量、 变量都适用。）

五、单变量造多个指示：先合并成一个区间

都由同一个 决定时， 的每个取值组合对应 的一个区间交——先把两个条件合并成 的一段，再查概率。绝不能把它们当独立处理。

必考

880 第十八章基础解答 4

原题 设随机变量 与 相互独立，其概率密度分别为

其中 为常数. 令 求 的分布律和分布函数.

解析 是 - 变量，只需算一个数 。

对 分解（独立，）：

分布函数（- 变量的标准三段）：

合理性检查： 越大 ⟹ 越小（均值 越小）⟹ 应越大。公式里 确实随 递增 ✓。 时得 ✓（对称）。

是竞争风险模型的核心公式，值得直接背

含义：“两个独立的指数时钟同时走，第一个先响的概率与它的速率成正比。” 与 配套使用：总速率是 ，其中 占 的份额。

更强的结论（不必背，但知道有好处）： 与”谁先响”这个指示变量 相互独立。 见 max 与 min 的分布 与 无记忆性与寿命分布。

1000 题基础篇第3章 4

原题 设随机变量 服从区间 上的均匀分布，令 则 .

解析 和 由同一个 决定，必须合并区间，不能当独立。

要求 一正一负，两种情形：

情形 A：，即 且 ——空集，概率 。

情形 B：，即 且 ，即 。

，区间总长 ：

情形 A 是空集，这是本题的全部机关

与 互斥，因为一个数不可能同时 和 。 若误把 当成独立（，），就会算出 ——完全错误。

与 事实上高度相关：，即 ，是典型的蕴含关系。 顺手把联合分布律填完：

，不独立 ✓

880 第十八章综合解答 2

原题 设二维随机变量 在 上服从均匀分布，令

求 的联合分布律，并判别 与 是否相互独立.

解析 是 矩形，面积 。两条分界线：（从 到 ，在上边出去）与 （从 到 ，正好穿到右上角）。

第一步：找蕴含关系（省一半功夫）

在 内 ，故

即 ，于是

第二步：算两个边缘

第三步：填表

验证：四格之和 ✓；行和给 ✓；列和给 ✓

第四步：判独立

故 与 不相互独立。

（或直接验一格：，而 。）

一旦表里出现 ，独立性基本没戏

独立要求 。若 而两个边缘 都为正，等式立刻破。 所以”找蕴含关系”这一步既省计算，又提前锁定了独立性的答案。

顺带：——正相关且不弱。

880 第十八章综合解答 5

原题 设二维随机变量 服从 上的均匀分布，令

求：（Ⅰ） 的联合概率分布；（Ⅱ）.

解析 是上半圆盘。所有分界线都过原点（、、）——极角法的完美场景。

关键事实：上半圆盘上的均匀分布，其极角 服从 ，与半径独立。所以，把每个条件翻译成极角（，）：

条件	极角区间	概率
（）
（）
（）
（）
（）

（；，且 时 必然 。）

（Ⅰ）取交集即可， 只占 ，完全落在 的范围 内：

逐格来源：

• ：，概率 ；
• ：，概率 ；
• ：，概率 ；
• 每行剩下的补齐到行和：。

验证： ✓ 列和： 得 ✓， 得 ✓

（Ⅱ）

另解（直接用极角） ⟺ 且 ⟺ 且 ⟺ ，张角 ：这条路只用了一步。

极角法把这道大题变成了填角度表

上半圆盘上均匀 ⟹ ，半径完全不参与——所有条件都是”过原点的直线”，与 无关。 这个技巧在”圆盘/扇形 + 过原点的直线”题型里通用，能省掉全部二重积分。

失效条件：分界线不过原点（如 ）、或区域不是以原点为心的扇形——那就老老实实算面积。

880 第十八章综合解答 6

原题 设随机变量 的概率密度为 ，对 作两次独立观察，其观测值分别记为 ，令 . 求：

（Ⅰ） 的值及 ；（Ⅱ） 的概率分布.

题源说明

原文在题设里写”观测值分别记为 “，随后又用 、 混排。统一理解为： 是独立同分布于 的两次观察。不影响解法。

解析

（Ⅰ）求 。这是个双曲正割分布（）。

（换元细节：。）

顺带写出分布函数：，验证： ✓； ✓； ✓（密度关于 对称，因 ）。

概率（独立）：

（Ⅱ） 独立同分布（因 ，独立性传递到函数），都是 - 变量，参数

数值上约为

验证： ✓ 独立（本来就该独立，这是自查）。

这道题与前两道形成对照： 这里的两个指示变量是独立的

前面 880 综合解答 2、5 和 1000 基础 3-4 里，两个指示变量都由同一个随机点决定，所以相关； 本题的 分别由两次独立观察决定，所以独立。

另外注意 ——这就是1000 基础 3-1 里那个”两个 - 之和”的结构。

拓展

1000 题强化篇第4章 6

原题 设二维随机变量 在以点 为顶点的四边形区域 上服从均匀分布，令

（1）求 的分布律；（2）求 和 的相关系数 ；（3）求 的边缘概率密度.

解析 是对角线长 与 的菱形，即

密度 。

（3）先做这一问（后面要用，而且最容易）：水平切片。

高度 （）处，，切片长度 ：

验证： ✓（三角形密度）

（1） 两个边缘概率：

（ 处切片长度为 。）

关键零格： 时，菱形要求 ，即 。所以

填表：

边缘：；。

（2） 用 系数公式：

另解（老实算矩，用于验算）

（ 因为取值只有 ——这让方差算得飞快。）

变量的方差捷径

只取 时 ，故 。 若 ，则 ，。 本题 ： ✓ 心算即可。

很小，但绝不是 0

表里有个零格，， 与 不独立也不相关为零。 这与 1000 强化 5-9 那道菱形题形成有趣对照：那里的 是独立的，这里离散化之后的 却相关。 离散化会改变相依结构——原始的 与切出来的 是两回事。

链接

• 方法总纲：全集分解法 · 二维均匀分布与几何概型
• 同章：二维几何概型与线性变换 · 独立性的判定与反例 · 离散型二维分布：比较与求和 · 全集分解法：离散与连续的混合
• 概念：联合分布与边缘分布 · 随机变量的独立性
• 旧知识：事件的独立性（四格表 ） · 古典概型与几何概型 · 线代第10章 行列式
• 下一章： 与协方差的完整理论在第19章
• 易错清单：第18章易错点
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