考研笔记

最值与次序统计量

🏠 第18章概念导航

核心问题

和 是两个变量的函数里最容易处理的一类——因为它们能被翻译成事件的交：

一旦变成交集，独立性就能把它拆成乘积，全部计算迎刃而解。

注意只有这两个方向能拆成”交”。另两个方向是”并”，必须先取补：

口诀：max 配 ，min 配 。

核心定义 / 定理 / 结论

一、公式表（独立时）

量一般独立独立同分布（ 个）
—
—

求密度必须先写 再求导，两条密度公式本身就是这么来的。

二、指数分布的 是唯一”保族”的

独立

推导：。

物理意义： 是故障率，串联系统的故障率 = 各元件故障率之和（谁先坏，整机就坏）。

相加（还是指数）和或双指数差（不是指数）

不保族： 不是指数分布，且没有无记忆性（并联系统用旧了确实更容易坏）。

三、竞争风险：谁先响

， 独立：

“总速率是 ，其中 占 的份额。”

更强： 与”谁先响”这个指示变量相互独立。

四、次序统计量的联合密度

个独立同分布，排序后 ：

系数 ：原来的 个变量有 种排法落到同一个有序结果。

： 于 。

次序统计量恒不独立（支撑集是”有序”区域，不是矩形）——除了下面这个奇迹。

五、Rényi 分解（指数分布专属）

独立同服从 ：

且二者独立

于是

选择题里对一下期望通常就能定答案。

一般 个：，各间隔相互独立。所以

六、 与 同时出现：容斥

独立同分布，，记 ：

思路：“都 ” 减去 “都 但没有一个 “。

七、 与 的桥

只要给了 ， 就是白送的——不需要独立性假设。这是容斥的直接后果。

典型题型

  1. 求 的分布——先 后求导；
  2. 串联/并联系统的寿命——串联取 ，并联取 ；
  3. 次序统计量的联合密度—— 于有序区域；
  4. 同分布识别（选择题）——先对期望，再验密度；
  5. 乘积型不等式——先因式分解，再定符号（ 恒正是常用的”定符号”来源）；
  6. 与 的组合事件——容斥。

图示 / 直觉

把分布”推向右边”， 把分布”推向左边”。

  • 时 迅速变小 ⟹ 最大值的分布整体右移；
  • 越大， 越靠近分布的右端点， 越靠近左端点；
  • 两者的密度形状会越来越”尖”（极值理论的起点）。

Rényi 分解的图像：把 个指数变量排成一列，相邻两点之间的间隔仍是指数分布，只是速率随”还剩几个在跑”而变。这就是”无记忆性”在次序统计量上的体现——第一个响之后，剩下的时钟”重新开始”。

常见误用

五个高频错误

  1. 或 ——是 ，参数相加。检查： 必须比 小。

  2. 把 的参数也相加 —— 不保族，只能写 。

  3. ——正确的是 。

  4. 直接拆成交集 ——那是并集，要先取补。

  5. 离散型下把 的端点顺手改掉 —— 算的是左开右闭，一个字都不能错。

与旧知识的连接

  • 第16章的容斥原理 → 组合事件的全部工具；
  • 第16章的独立性 → 把交集拆成乘积的许可证；
  • 第17章的无记忆性 → 串联系统仍无记忆（ 对无记忆封闭），并联则不然；
  • 第17章的浴盆曲线 → 串联/并联是”恒定故障率 / 递增故障率”的最小模型；
  • 第21章： 是样本极差的两端，次序统计量是非参数统计的基础。

题型训练

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