两类错误概率的计算

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方法模板

一、三步流水线（所有这类题共用）

“不犯第二类错误的概率”，就是功效，题目常这么问。

二、正态总体的模板（最高频）

，，，拒绝域 ：

标准化时分母永远是 （ 的标准差， 在根号里）。

三、复合 ： 取”最不利点”的最大值

若是 这种不等式， 是 的函数。约定

这正是上一节”等号必须在 一侧”的实际用途。

四、离散总体：直接数概率，别标准化

拒绝域若是 这类具体事件，就用独立性把概率乘起来：

必考

880 第二十三章 基础选择 2

原题 设 为来自总体 的简单随机样本， 为样本均值，对于假设检验 ，若取拒绝域 ， 为 的分布函数，则该检验犯第一类错误的概率 为（　）。 A. 　B. 　C. 　D.

解析 第一类错误 → 在 下算，即 ，：

选 C。

是设计好的，一定会约掉

拒绝域的临界值写成 ，分子的 与标准化的分母 恰好抵消， 剩下光秃秃的 。这就是拒绝域为什么总写成""的原因——为了让 干净。

选项 A、B 是给”把 具体化”或”把 与临界值搞混”的人准备的；D 是漏掉 。 算出来若还带着 ，一定是标准化那步写错了。

1000 基础篇 第6章 23

原题 设 是来自正态总体 的简单随机样本，并设原假设 ，备择假设 ，若拒绝域为 ，，记 分别为犯第一类错误和第二类错误的概率，则（　）。 (A) (B) (C) (D)

解析 ，，故 的标准差是 。

（在 下）：

（在 下）：

选 A。

不是巧合，是对称性

临界值 恰好是 与 的中点，而两个假设下 的方差相同， 所以两条正态曲线关于 镜像对称，被 切出的两块尾巴面积必然相等。

看出这一点可以只算一个。 若临界值偏向 ，则 大 小；偏向 则反之。

另外注意 这一步——别把 写成 （选项 B 的陷阱）。

1000 强化篇 第9章 26

原题 设总体 ，，。来自总体 的样本容量为 的简单随机样本均值为 ，设拒绝域为 ，则不犯第二类错误的概率为（　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 “不犯第二类错误”，即在 下落进拒绝域。

， → 的标准差 。在 下：

选 B。

三个岔路口，每个都对应一个错误选项

1. 在哪个假设下算？ 第二类错误的条件是 （）。若误用 ，会得到 → 选项 C、D。
2. 问的是 还是 ？ 题目说”不犯”，要的是 。
3. 等于什么？ 由对称性 ，不是 （选项 A）。

顺带： 正是 ，说明这个检验的水平约为 。 命题人把 与 配好，就是让 和 都出现，看你分不分得清。

1000 基础篇 第6章 24

原题 设总体 ，作检验 ；。抽取 个样本，取拒绝域 为 ，则犯第二类错误的概率为 ＿＿＿。

解析 离散题，直接数概率。

第二类错误 ” 为真却没拒绝 “，即在 下样本不落进 ：在 下：三个样本独立：

（也可写成 。）

两个必须看清的地方

1. 在 下算，不是 。 若误用 的 ，得到的是 （）。
2. 而不是 。 分布律第一栏是 。

而 ——这个检验极度保守：几乎不会冤枉 ，但有近一半的机会放过 。 这正是 与 此消彼长的极端演示：拒绝域小到只有一个点， 自然趋近于 ，代价是 巨大。

1000 强化篇 第9章 27

原题 设 是来自均匀分布总体 （）的简单随机样本，原假设 ，备择假设 ，拒绝域为 ，其中 ，，若犯第一类错误的概率的最大值为 ，则 （　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 是复合假设（），故 是 的函数，取最大值。

在参数为 时（均匀分布族）：

这是 的减函数，故在 的范围 上，最大值在边界 处取到：

选 B。

"最大值"三个字是题眼

复合 下，“犯第一类错误的概率”不是一个数而是一族数， 约定取其上确界作为检验的水平——而上确界总在 与 的分界线上。

这也回答了上一节的问题：等号必须在 一侧，否则边界点不在 里，这个最大值就取不到。

选项 A（）、D（）都大于 但小于 ，是给”把 写成 “的人准备的； C（）对应 ，是把边界取成 的其他值。

1000 强化篇 第9章 28

原题 设总体 的概率密度为 其中 为未知参数，（）为来自总体 的简单随机样本，。 (1) 求 的最大似然估计量 ，并求常数 ，使得 为 的无偏估计； (2) 对于原假设 与备择假设 ，若 的拒绝域为 ，求犯第一类错误的概率 。

解析 先备好这个分布的两个基本量：

(1) 最大似然（ 在支撑左端点，边界型）： 递增 → 顶到上界：

求 。由

用”生存函数积分法”（）：

（ 保证积分收敛——这就是题设写""的原因。）

(2) 第一类错误：在 （）下算：

偏大，与 的 偏小恰好成镜像

这里 是支撑的左端点， 恒成立 → → 修正因子 （往下压）。

而 里 是右端点， → → 修正因子 （往上抬）。

第 (2) 问一行就完，因为 在第 (1) 问已经写出来了。 这道题是”边界型 MLE 无偏修正 假设检验”的三合一，是本章最典型的压轴结构。

链接

• 概念：假设检验的框架与两类错误 · 最大值与最小值的分布 · 正态分布与标准化
• 上一节：假设检验的概念
• 下一节：正态总体的三大检验
• 相关：边界型最大似然 · 均匀分布族 · 无偏性
• 题库：数理统计题库 · 易错：易错清单