正态总体的检验统计量

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核心问题

框架有了（、、、拒绝域），具体到正态总体，该拿什么量去比？

答案只有三个：、、。它们就是三大抽样分布在检验里的用法， 选哪一个由”要检验谁”和” 知不知道”两件事完全决定。

核心定义 / 定理 / 结论

一、检验统计量速查表（单个正态总体）

检验对象	条件	统计量	分布
	已知
	未知
	未知
	已知

二、两个正态总体

检验对象	条件	统计量	分布
	已知
	未知
	未知

其中合并样本方差

（见 有效性。）

三、拒绝域：三种备择三种形状

以 检验为例（、 同理换分位数）：

没有对称性：右侧用 ，左侧用 ，双侧两头都查。

四、五步答题模板

且措辞要准确：拒绝时写”认为…”，不拒绝时写”不能认为…”（见 框架 第七节）。

五、题目给哪个分位数，就是在告诉你考哪个检验

六、与置信区间的对偶

两者用同一个枢轴量、同一个分位数。单侧版本：

七、 消不消得掉，决定了用哪个分布

因为 、 是比值， 自动约掉；而 的分母含 、 的分母含 （后者是被检验的那个值，是已知数，不是未知参数——这两个""要分清）。

典型题型

1. 写出检验统计量 —— 注意 、、 三个记号的换算。
2. 完整的解答题 —— 五步模板，不丢步骤分。
3. 由拒绝域反算 —— 见 两类错误的计算。
4. 判断该用哪个检验 —— 看题目给的分位数。

图示 / 直觉

• 分母用 （真标准差）→ 尺子是准的 → ；
• 分母用 （估出来的标准差）→ 尺子本身在抖 → 尾巴更厚 → 。

常见误用

1. 未知却用 检验 —— 必须换 ，自由度 。
2. 单侧双侧的分位数用混 —— 与 。
3. 统计量漏掉 —— 是 。
4. 直接当 用 —— 还要除 。
5. 已知时 自由度写 —— 应为 。
6. 两样本之差的方差写成相减 —— 独立时相加。
7. 结论只写”拒绝 ” —— 必须翻译成题目的中文。
8. 题目没给的分位数硬去用 —— 给什么用什么，题目在暗示考点。

与旧知识的连接

• 三大抽样分布 —— 三个检验统计量就是三个分布的构造式。
• 正态总体的抽样分布定理 —— 每个统计量的分布来源。
• 分位数与临界值 —— 拒绝域的边界。
• 假设检验的框架 —— 上位概念。
• 置信区间 —— 对偶关系。
• 有效性 —— 的权重为什么是自由度。

题型训练

• 正态总体的三大检验
• 两类错误概率的计算
• 区间估计

链接

• 上游：假设检验的框架与两类错误 · 正态总体的抽样分布定理 · 三大抽样分布
• 平行：置信区间 · 分位数与临界值
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