考研笔记

分位数与临界值

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核心问题

“概率是多少”这个问题被反过来问了：给定概率，那个临界点在哪？

区间估计要”往两边各留 “，假设检验要”把 划进拒绝域”—— 两者都需要由概率反查数值。分位数就是这个反查的记号。

核心定义 / 定理 / 结论

一、上侧分位数（考研只用这一种）

是右尾面积， 是把右尾切出 的那个点。

越小越靠右、越大

这是所有分位数题的方向判据，算完之后先用它检查大小是否合理。

记号：（或 ）用于 ；、、 各带自由度。

二、与分布函数的换算

所以题目给 ，意思是 。

给的是值就减一次：

三、必背的四个正态分位数

最高频的一对：（单侧 ）与 （双侧 ）。分不清这两个，区间估计与假设检验全线崩溃。

四、三条对称性 / 互反关系

正态：分布：分布：（自由度要交换！） 分布没有任何对称性，左右尾必须分别查表

那条只需一行：，于是

特例（高频）： 时 与 同分布，故 。

五、 与”尾概率翻倍”

且 对称分布平方后，尾概率翻倍

必须验：由 与 的对称性即得。若 则 ，答案变成 。

六、双侧查 ，单侧查

双侧查单侧查 两边都要留就除以，只关心一边就不除

三个恒等式配套使用：

七、把 的事件翻译成 的事件

查表前必须先把统计量化成标准形式，再对照分位数

典型题型

  1. 给 分位数求 —— 翻译事件 → 对照 → 解一次方程。
  2. 的倒数关系 —— 。
  3. 的概率换算 —— 先定 的符号，再翻倍。
  4. 反解样本容量 —— 由 解 ，向上取整。

图示 / 直觉

（右尾）

分位数是”闸门”：闸门右边漏掉 的概率。

  • 区间估计：把 平分给两边，闸门设在 ，中间 是置信区间；
  • 假设检验：把 全部（单侧）或平分（双侧）划为拒绝域，闸门就是临界值。
同一个，在区间估计里是区间半宽，在假设检验里是拒绝线

常见误用

  1. 双侧查 —— 这是本篇最高频的错误。 的双侧要查 ，不是 。
  2. 把 值当分位数 —— ， 是分位数， 是概率。
  3. 的互反关系忘了交换自由度 —— ， 换位置。
  4. 给 用对称性 —— 不对称，（而且它恒非负）。
  5. 平方去绝对值时不定符号 —— ， 的符号决定后续换算。
  6. 样本容量四舍五入 —— “至少”永远向上取整。
  7. 区间估计的端点写反 —— 在枢轴量的分母上，反解时不等号翻转，大分位数给出下端点。

与旧知识的连接

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