考研笔记

分位数、对称性与倒数关系

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方法模板

一、上侧分位数的定义（考研只用这一种）

是右尾面积， 是把右尾切出 的那个点。记号写成 （正态）、、、。

越小，分位数越靠右、越大。这是所有分位数题的方向判据。

二、三条对称性/互反关系（本节全部考点）

正态：关于对称分布：关于对称分布：注意自由度要交换

分布没有任何对称性（它只在 上），左右尾必须分别查表。

那条的来源只有一行：。

三、 与 的桥：

（因为 ，平方后 。）

配套的概率换算是本节最高频的考点：平方把两条尾巴叠成一条，

对称分布平方后，尾概率翻倍

这个前提必须验：由 且 关于 对称即得 。若 则 ， 与 的换算方向要重来。

四、” 表” 与样本方差的接口

把 的事件翻译成 的事件再查表，是所有”给 分位数求 “的题的唯一走法。

必考

880 第二十一章 基础填空 2

原题 设总体 的简单随机样本为 ，样本方差为 ，已知 ，则 ＿＿＿。（已知 ，上侧分位数）

解析 ，。由抽样定理把事件翻译过去：对照 得

系数的方向不能弄反

里， 在上、 在下。写反了会得到 。 验算：，而 说明 应当明显大于 ✓ 。 若算出 ，右尾概率就该大于 ，与 矛盾——一眼可查。

880 第二十一章 基础填空 3

原题 设随机变量 ，且 ，则 ＿＿＿。

解析 关键观察：两个自由度相同，故 与 同分布（都是 ）。

（ 是连续型，，故 。）

另解（用分位数记号） 题设即 。由互反关系而 的定义就是 ，故 。

的自反性是特例，别推广

一般地 ，只有 时才与 同分布。 题目特意把两个自由度都写成 ，就是要用这一点。若题给 且 ，这条路走不通。

880 第二十一章 基础填空 4

原题 设 ，，给定 （），常数 满足 ，则 ＿＿＿。

解析 由 ，可以把 直接看成 （同分布即可，不必是同一个随机变量）：先定 的符号： 且 关于 对称 ✓。

于是 ，两块互斥且由对称性等概率：

题设给的 不是装饰

它保证 ，从而 。 若 则 ，此时 ，答案变成 。 凡是”平方去绝对值”，第一步永远是定符号。

1000 基础篇 第6章 5

原题 设 为正整数，随机变量 ，，常数 满足 ，则 （　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 与上一题同构，只是把 取成具体的 ，并且问的是左尾。

。由 ：

选 A。

这道题与 880 基础填空 4 是同一道题的两种问法

880 问右尾得 ，1000 问左尾得 。 两本题册在同一个知识点上撞题，说明 加”尾概率翻倍”是必背结论。 出错的人几乎全都答 （漏掉翻倍）或 （答成右尾）。

1000 强化篇 第8章 11

原题 设随机变量 相互独立且都服从标准正态分布 ，已知 ，对给定的 （），数 满足 ，则有（　）。 (A) (B) (C) (D)

解析 先认分布：

独立

分子分母的自由度都是 ，各自除以 后比值不变——这是为什么题目里看不到系数。

两个自由度相同 → 与 同分布（同 880 基础填空 3），故

选 A。

另解（直接算，不用记公式） 由 ：

故 ，即 ，得 。

选项 C、D 里的 是给"忘了除自由度"的人准备的

若误写成 ，就会多出一个因子 。 的定义式里上下各除自己的自由度，这里两个 恰好抵消——抵消不等于不存在。

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