考研笔记

样本均值与样本方差的性质

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方法模板

一、对任意总体都成立的四条（不需要正态！）

只要 、 存在， 是简单随机样本：

第三条 就是 的分母取 的全部理由（见 无偏性）。

由第一、二条立刻得到最常用的一步：

二、正态总体独有的三条（本节的主力）

设 ：

①精确，不是近似②③与相互独立 ①②③合成

第③条是正态总体的专利，非正态总体下 与 一般不独立。它的用处极大：

凡是题目里同时出现 与 （或 ）的乘积/交叉项，第一反应就是”独立 → 拆开”。

三、 的两个数字（用得比分布本身还多）

由此立刻得到 的方差（正态总体下）：

这个式子是”有效性”整节的引擎（见 有效性与最优加权）。

四、 与单个 的交叉协方差

高频小工具，三行推完，务必会：

而对样本外的一个新观测 （与 独立）：

样本内的减去是，样本外的是

一个减号一个加号，是本节最经典的一对易错。 减号来自 参与了 的构造（负相关一次），加号来自 没参与（方差直接相加）。

必考

880 第二十一章 基础填空 5

原题 设 （）为来自总体 （）的简单随机样本，若 ，则 ＿＿＿。

解析 两边都标准化成同一个 ：

关于 严格单调增，故两概率相等 两个上限相等：

一句话读懂这道题

的标准差是 的 倍，所以要围出同样的概率， 只需要 倍宽的区间。 这正是”用样本均值比用单次观测更可靠”的定量说法，也是 区间估计里区间长度 的来源。

1000 基础篇 第6章 6

原题 设 （）为来自标准正态总体 的简单随机样本，记 ，，，则 （　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 总体是 ，即 、。展开：三项逐个算：

  • ；
  • ——交叉项直接归零；
  • 。

选 B。

这道题的全部难度都在交叉项

是算不出来的（ 服从 分布，，考研不要求）。 但只要 与 独立，且 ，交叉项就整体为零，根本不需要知道 。

与独立与也独立

（ 是 的函数。）总体均值恰为 是命题人的善意——否则本题做不出来。

1000 强化篇 第8章 4

原题 设 是来自总体 的简单随机样本，记 ，，，则 的值为（　）。 (A) 0　(B) 1　(C) 2　(D) 4

解析 独立 → 乘积的期望等于期望的乘积：

选 C。

与上一题是同一把钥匙的两种锁

上一题用独立性消掉交叉项，本题用独立性拆开乘积。 凡是 与 相乘、相加的题，一律先写”由正态总体下 与 独立”这一句，后面全是套公式。

1000 强化篇 第8章 1

原题 设 ， 为来自总体 的简单随机样本， 为样本均值，则 （　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 总体不是正态，上面的三条全部用不上——但这题也不需要，直接回到 的定义。

记 ，取值 ，概率依次 。

选 B。

另解（对称性秒杀） 时 关于 对称，故 ，两者互补且不重叠，各为 。一秒出答案，一个数都不用算。

不等于 的边界要小心

（ 取整数）。 若误把 对应成 ，答案会变成 （选项 D 正是为此准备的）。 离散型的均值题，一律先乘回 变成整数事件，再定 还是 。

1000 强化篇 第8章 5

原题 设 是来自标准正态总体 的简单随机样本，，则 （　）。 (A) 2　(B) 1　(C) 　(D)

解析 这就是”样本外的观测减样本均值”那条公式的直接应用。

记 ，则 与 独立（用了不相交的样本），且

（对照公式 ，此处 ，得 ✓。）

标准化后平方：题目给的系数 正是方差的倒数，就是为了凑出 。故

选 A。

看到" 乘一个平方"就该想到

命题人给系数的目的只有一个：让你标准化。系数 方差 就是 ，、，两个数直接报。 选项 C、D（、）是给”把 当普通常数往外提平方”的人准备的。

1000 强化篇 第8章 8

原题 设总体 服从 ，， 是来自总体 的简单随机样本，，，则 （　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 记号 ，故 ，，，。

，所以 。

单对的差：

两对独立（不同样本点之间独立），故

选 B。

另解（ 时退化，一行出答案） 表示 与 完全线性相关：

于是 ，，而 ： 时二维正态退化成一条直线，两个变量的关系被完全确定，这是最快的路。

四个选项对应四个

（A）；（C）；（D）；（B）。 命题人把”读错 “的四种可能全做成了选项，所以第一件事是确认记号里哪个位置是 、哪个是 。 本题记号写的是 （ 和 ），因此 而不是 。

拓展

880 第二十一章 拓展解答 3

原题 设 为总体 的简单随机样本，记 ，， ，。 （Ⅰ）求 和 ；（Ⅱ）若 服从 分布，求 的值。

解析 注意 与 只用前 个样本， 是样本外的新观测。

（Ⅰ） 与 独立，，：

题给的系数 恰是这个方差的倒数，故

（Ⅱ） 要凑 ，需要一个与 独立的 。取独立性核查（本题的实质）： 只依赖 ； 依赖 与 。由正态总体下 ，且 与前 个样本独立，三者合起来给出 ✓。

对照 ：

用错方差就全盘皆错

若把 写成 （样本内的公式），会得到 。 判据： 出现在 的求和里吗？ 本题不在（求和只到 ），所以方差相加得 。

这道题的设计就是要你分清这一个符号。 的系数其实已经把答案透露了： 里赫然写着 。

880 第二十一章 拓展解答 4

原题 设随机变量 与 相互独立，（）， 的分布律为 ，（），记 。 （Ⅰ）求 的概率密度 ； （Ⅱ）当 为何值时， 与 不相关； （Ⅲ）若 为来自总体 的简单随机样本， 为样本均值， 为样本方差，记 ，求 。

解析

（Ⅰ） 全概率公式按 分解： 关于原点对称，故 与 同分布，两项的分布函数相同：

即，与无关

（Ⅱ） ，，故

不相关 。

（Ⅲ） 由（Ⅰ）， 是来自 的简单随机样本——正态总体，三条定理全部可用。

与 独立，故 （减号平方后仍是加）。

  • ；
  • 。

第（Ⅰ）问是全题的枢纽

一旦证出 ，第（Ⅲ）问的 就成了正态样本， 才能用。 若停在” 的分布与 有关”，第（Ⅲ）问无从下手。

与 同分布（对称性）是这一步的唯一依据，见 分布的对称性。 顺带：第（Ⅱ）问揭示了一个反例—— 时 与 相关但 仍是正态，而 时 与 不相关却绝不独立（）。这是 不相关不蕴含独立 的教科书例子。

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