有效性与最优加权

🏠 数理统计概念导航 · 数理统计题库

方法模板

一、有效性的定义

若题目给的估计量有偏，必须先修正成无偏再比（见 边界型 MLE 的 880 拓展解答 2）。

二、最优加权：本节的核心公式

设 相互独立、都无偏、方差分别为 ， 考虑加权组合 。

在约束 下最小化 ：

两个必须能秒答的特例：

三、不用拉格朗日的两条证法

（a）柯西—施瓦茨（方差相同的情形）：

（b）配方（两项的情形，）：

四、 的方差：加权题的引擎

正态总体下（见那一节）：

于是合并样本方差（pooled variance）的形式就有了来历：它不是随便加权平均，而是方差最小的那个加权。

必考

880 第二十二章 基础填空

原题 设总体 与 均服从 ，从总体 与 中抽取容量均为 的两组相互独立的简单随机样本，其样本方差分别为 与 。若 是 的无偏估计量，当 达到最小时， ＿＿＿， ＿＿＿。

解析

① 无偏给出约束。 ，故

② 方差。 两样本独立，且容量相同（）：③ 配方。在 时取最小值 ：

两个样本容量相同 → 权重必然对半

直觉：两组样本地位完全对等，凭什么偏袒谁？ 一旦容量不同（），权重就变成 自由度（下一题会看到）。

注意 恰好是把两组样本合起来（共 个）时的 ✓ ——合并之后自由度翻倍，方差减半，与直接算的结果一致。

1000 基础篇 第6章 7

原题 设 独立同分布于 ， 与 是分别来自总体 与 的简单随机样本，样本方差分别为 与 ，记 ，，则方差最小的是（　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 先算两个基础方差（自由度分别是 与 ）：

四个候选都无偏（权重和均为 ✓），逐个算方差：

估计量	方差	数值（）

选 D。

另解（直接用最优加权公式，零计算） 最优权重 ：

正是合并样本方差

权重 与自由度 成正比（， ✓），所以

这就是两样本 检验里那个 。 它的定义式看着像凭空规定，其实是最优加权的必然结果。

而 （简单平均）忽略了” 组样本更多、更可信”，所以略差——样本容量不等时不能对半分。

880 第二十二章 基础解答 14

原题 设总体 （）， 为 的简单随机样本，。 （Ⅰ）证明：， 是 的无偏估计； （Ⅱ）当 时， 和 哪一个有效？

解析

（Ⅰ） ，。由 均匀分布族 的档案 ：（Ⅱ） 比方差。

时 ，故

时两者相等——这就是题设""的来历

：，此时 而 ，根本是同一个统计量 ✓。

量级对比才是本题的重点：

样本量翻倍时， 的标准差只降到 ，而 直接降到 。 “支撑边界含参数”的模型里，极值统计量永远碾压样本均值。

1000 强化篇 第9章 23

原题 设总体 的未知参数 有两个相互独立的无偏估计量 与 ，且 ，记 ，则以下使得 最有效的是（　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 先用无偏性砍掉两个选项。 要有资格谈”有效”，必须先无偏：

• (A) ✗
• (D) ✗

只剩 B、C。再用最优加权定方向。 记 ，：

选 B。

验算（直接算两个候选的方差）

✓ B 更小。

选 C 的人都栽在同一个直觉上

” 方差大 它更重要 给它更大权重”——完全反了。

记忆锚点：极端情形 （ 毫无信息），最优权重 ，即彻底忽略它。 这才是符合常识的方向。

880 第二十二章 基础解答 20

原题 设随机变量 与 相互独立，（）， 的分布律为 ，记 ， 为来自总体 的简单随机样本。 （Ⅰ）求 的概率密度 ； （Ⅱ）求 的最大似然估计量 ； （Ⅲ）若 ，其中 ，，求 的最小值。

解析

（Ⅰ） 全概率公式按 分解，并利用 与 同分布（正态关于原点对称）：

（Ⅱ） 是来自 的样本， 已知，故（同 标准流程）

（Ⅲ） 独立同分布，：由柯西—施瓦茨不等式，在 下

等号当且仅当 （此时 ）。故

第（Ⅲ）问是"样本均值为什么最优"的证明

所有权重和为 的线性组合里，等权重（即样本均值）方差最小。 这正是最优加权公式在 全相等时的特例： ✓。

反过来，若 的方差不相同（如来自不同精度的仪器）， 就不再最优， 该用 ——这就是本节开头那个公式的实际用途。

另注：题目里 这个条件其实是多余的（最优解自动为正），但它保证了 是一个”加权平均”。

链接

• 概念：有效性 · 无偏性 · 正态总体的抽样分布定理
• 上一节：无偏性
• 下一节：区间估计
• 相关：均匀分布族 · 正态总体的三大检验（ 的来历）
• 用到的旧工具：柯西—施瓦茨不等式（积分形式见高数）· 协方差与相关系数
• 题库：数理统计题库 · 易错：易错清单