无偏性

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方法模板

一、定义与唯一的操作

“对每一个 都成立”这句话不是废话——反解常数的题全靠它：把 展成 的多项式， 令各次幂的系数与 对应相等，得到一组方程。

二、四条现成的无偏结论（无需任何分布假设）

只要 、 存在：

推导（值得会，三行）：

三、四条”看起来该无偏、其实不无偏”的（本节的考点）

线性函数则一定能穿过： 无偏 是 的无偏估计。 这是判断题里最省时间的一条。

四、 已知与未知，无偏的写法不同

五、无偏 好

• 无偏估计可以有无穷多个（880 第二十二章基础解答 13：整条直线上的 全无偏）；
• 无偏估计可以取到不可能的值（本节 1000 强化 22： 会取 ，而被估的量 ）；
• 无偏估计可以方差极大（1000 基础 19 的 ：无偏但 ，与 无关）。

必考

880 第二十二章 基础解答 9

原题 设 为来自总体 的简单随机样本，，， 若 为 的无偏估计量，求 的值。

解析 逐项算期望。对相邻两项之差：

一共 项：

项数是 不是

从 到 ，相邻差一共 个。数错项数是本题唯一的失分点。

顺带：这个估计量在时间序列里叫一阶差分方差估计，好处是不需要知道 、也不受 缓慢漂移的影响。 注意相邻的差之间并不独立（ 与 共用 ）， 但求期望是线性运算，不需要独立性——这就是为什么本题只问 不问 。

880 第二十二章 基础解答 10

原题 设总体 的概率密度为 为未知参数， 为 的简单随机样本，，， 证明： 与 都是 的无偏估计量。

解析 两条独立的路。

路一：（矩型）

路二：（极值型） 先求 的分布。 的分布函数

证毕。

修正因子是怎么"猜"出来的

，所以 是 个 的最大值， 其分布函数是 ——等价于 个 取最大。

于是照搬 均匀分布族 的公式，把那里的 换成 ：

这条一般化让所有”幂型密度 + “的题变成同一道题。

1000 基础篇 第6章 16

原题 设总体 的数学期望 ，方差 ，而 （）是来自总体 的简单随机样本，，，则下列属于 的无偏估计量的是（　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 四个选项只差常数，算出括号里那一坨的期望即可。

要得到 ，需乘 。选 B。

用到了题设的

若 ，则 ，答案就不是常数倍了。 题干里""是必要条件，不是装饰。

这道题同时展示了”两个无偏估计取平均仍无偏”： 与 各自无偏， 任何权重和为 的组合 都无偏——又是无偏估计不唯一。

1000 基础篇 第6章 17

原题 设 是总体 的数学期望， 是总体 的标准差， 是来自总体 的简单随机样本，则总体方差 的无偏估计量是（　）。 (A) ， 未知 (B) ， 未知 (C) ， 已知 (D) ， 已知

解析 两个维度同时考：分母对不对 式子能不能算。

• A、B 出局： 未知时， 根本算不出来——统计量的定义要求它只依赖样本，不能含未知参数。
• C、D 之间比分母： 已知时

（ 是常数，每一项就是方差本身，没有任何自由度损失。）故分母取 ：选 D。

不是"方差估计的固定套路"

只在用 代替 时才出现，它补偿的是” 比真 更贴近数据”造成的低估。 已知时不存在这个低估，分母就是 。

A、B 两项还提醒一件事：统计量必须是样本的函数，不许含未知参数（见 总体、样本与统计量）。

1000 基础篇 第6章 18

原题 设 是总体 的标准差， 是来自总体 的简单随机样本，则样本标准差 是总体标准差 的（　）。 (A) 无偏估计量　(B) 最大似然估计量　(C) 相合估计量　(D) 最小方差估计量

解析 逐项判。

• A 错： 但 。由方差非负，，故

• B 错：最大似然估计依赖于具体的分布族。题目没说总体服从什么分布，谈不上”最大似然”。 （即便是正态总体， 的 MLE 也是 ，分母是 ，不等于 。）
• C 对：由辛钦大数定律 、，再由连续映射定理

• D 错：“最小方差”要在一个指定的估计量类里比较，且需要总体分布信息；无条件断言不成立。

选 C。

这道题是"无偏 vs 相合"的分水岭

两者互不蕴含：

• 相合但不无偏；
• （只用第一个样本）无偏（）但不相合（它压根不随 变）。

相合性穿得过连续函数（连续映射定理），无偏性穿不过——这就是 A 错而 C 对的根本原因。 见 相合性。

1000 强化篇 第9章 20

原题 设总体 的概率分布为

其中参数 未知。以 表示来自总体 的简单随机样本（样本容量为 ）中等于 的个数（）。 求常数 ，使 为 的无偏估计量，并求 的方差。

解析 “对每一个 都成立”这句话在这里是全部方法。

，故 ：

要求 对一切 成立 → 两个多项式恒等 → 逐次幂比系数：

于是求方差：：

答案的形式本身就是解释

： 是”取值为 的频率”，而 。 由频率估计概率，再由 换算——这就是最朴素的做法，而它恰好是唯一的线性无偏解。

说明”取值为 的那些样本不必单独计权”， 说明”取值 与 应当合并”—— 与 计数似然 里 1000 强化 19 的”MLE 自动合并无信息的类别”是同一个现象。

多项式恒等比系数是本节反解常数的通用手法，比”取几个特殊 代入”更保险。

1000 强化篇 第9章 21

原题 对总体 进行简单随机抽样，得如下统计资料：

(1) 求总体 的数学期望 和方差 的无偏估计值； (2) 根据以上计算结果，分析能否用泊松分布描述总体 的概率分布。

解析 样本容量 。

(1) 的无偏估计是 ：

的无偏估计是 （分母 ）：

(2) 泊松分布的招牌性质是而这里 与 相差近一倍，远超抽样波动能解释的范围。

补充理由（更有力）：泊松分布的取值从 开始且 ， 若 则 ， 次抽样中”平均应出现 次 ”， 而资料中 一次也没有出现，且 的取值恰好被 截断。两条证据都指向”不是泊松”。

这个因子不能省

若直接报 ，就是样本二阶中心矩（分母 ），它是 的有偏估计。 题目明确要”无偏估计值”，必须乘 。

好在本题 很大， 与 差别不大，不影响第 (2) 问的结论—— 但第 (1) 问的分数是按”有没有那个因子”给的。

这道题是本章少有的纯数值题，也是”用矩去检验模型假设”的最简版本， 精神上已经是 假设检验 了。

1000 强化篇 第9章 22

原题 设总体 服从参数为 （）的泊松分布，取容量为 的简单随机样本 ，其样本值 ，则 的无偏估计量与无偏估计值分别为（　）。 (A) ，　(B) ，　(C) 　(D) ，

解析 设估计量为 ，要求 对一切 成立：

两个幂级数恒等 → 系数逐项相等：

选 D。

验算 A： ✗ （这里用了母函数 ，取 。）

这是全章最反直觉的一道题

无偏估计值是 ，而被估计的量 ——估计值落在了不可能的区域。

它完全合法：无偏只要求”平均下来等于真值”，从不要求每一次都落在合理范围内。 本题的估计量在 为偶数时报 、奇数时报 ，平均恰好是 。

这也是”唯一的无偏估计”可以糟糕透顶的经典例子—— 时它是唯一的无偏估计（由系数唯一性）， 却毫无实用价值。有效性、相合性之所以必须存在，就是为了排除这种东西。

选项 A、B 是”套不变性”的陷阱： 确实是 的最大似然估计，但不是无偏估计。 题目问哪个性质，就用哪套规则（见 不变性）。

链接

• 概念：无偏性 · 相合性 · 有效性 · 总体、样本与统计量
• 上一节：最大似然的不变性
• 下一节：有效性与最优加权
• 相关：均匀分布族（极值统计量的无偏修正）· 离散总体的计数似然
• 前一章：大数定律（相合性的来源）
• 题库：数理统计题库 · 易错：易错清单