最大似然的标准流程

🏠 数理统计概念导航 · 数理统计题库

方法模板

一、五步流水线（连续型、似然可导的情形）

二、第③步是唯一的效率关键

只保留含 的项。三种最常见的形式与它们的导数：

中的项	对 求导
（）
（）

指数族的似然方程几乎总是 ，解出 。

三、” 当一个整体”这一招

估计正态的 时，把 记成 再求导，能避免链式法则的符号错误：

的分母是 ，不是 。 这是最大似然与样本方差 的唯一差别，也是”MLE 不必无偏”的头号例子：

四、 已知与未知，结果不同

这条决定了 是 还是 ，是本节压轴小题的分水岭。

必考

880 第二十二章 基础解答 3

原题 设总体 的概率密度为 其中 为未知参数， 为 的简单随机样本值。求： （Ⅰ） 的矩估计值；（Ⅱ） 的最大似然估计值。

解析 换元 ，把 藏起来，最后再平方回去。此时 。

（Ⅰ）矩估计

令 ，反解 ：

（ 保证 ✓。）

（Ⅱ）最大似然

符号检查： ✓。

换元是这道题的全部技巧

直接对 求导要处理 ，虽然也能做，但两次乘除很容易错。 凡是参数以 、、 的形式整体出现，先换元求那个整体的 MLE，再由不变性（不变性那一节）换回去。

1000 基础篇 第6章 13

原题 设连续型总体 的分布函数为 其中 为未知参数，且 ， 为来自总体 的简单随机样本。 求 的矩估计量与最大似然估计量。

解析 求导得密度：

于是答案照搬（改成估计量的大写形式）：

一本给密度、一本给分布函数

这是本章第三处”同题异装”。给分布函数时第一步永远是求导变密度，之后完全一样。 反过来，若题目问的是 之类的概率，用分布函数比用密度快——看题目要什么再决定用哪个。

880 第二十二章 基础解答 15

原题 设总体 ， 为未知参数， 为总体 的简单随机样本值，求 的最大似然估计量。

解析 教科书式的两参数 MLE，必须能一字不差地写出来。

记 ：对 求偏导：

对 求偏导：

把 代入：

分母是 ，这是 MLE 有偏的最著名例子

——系统性偏小。 修正因子 把它变回 ，这才是无偏的那个。

两个必须分清的对象：

题目问”最大似然估计量”就写前者，问” 的无偏估计”就写后者。一个字都不能换。

880 第二十二章 基础解答 7

原题 设 为总体 的简单随机样本， 为未知参数。 （Ⅰ）求 的最大似然估计量 ； （Ⅱ）若记 ，，利用最大似然估计量 ，求相关系数 。

解析

（Ⅰ） 已知，所以不需要用 替换：

这个 是无偏的： ✓（因为 已知，没丢自由度）。

（Ⅱ） 用 ， 用 ，重叠部分是 两项。

不同下标的协方差为 （独立），只有 两项存活：

"利用 " 这句话的意思

是无量纲的， 在分子分母中必然约掉——所以 与 的真值无关。 把 换成 代进去，得到的 还是 。 这正是 最大似然不变性 的一个平凡但干净的实例：

一句话记住协方差的算法：重叠了几项，协方差就是几个 。

880 第二十二章 基础解答 8

原题 设总体 的概率密度为 为总体 的简单随机样本。 （Ⅰ）求 的最大似然估计量 ； （Ⅱ）记 ，求 的分布函数和 。

解析 这是对数正态分布（ 的情形）。

（Ⅰ）

（Ⅱ） 对 ：

换元 （，上限 ）：

即 ——“对数正态”这个名字就是这个意思。于是

第（Ⅱ）问其实是第（Ⅰ）问的解释

密度里那个 因子正是变换 的雅可比 。 认出 之后，第（Ⅰ）问就是”正态总体估计 “，答案必然是 。 考场上先做（Ⅱ）反而更快。

1000 基础篇 第6章 8

原题 设总体 的概率密度为 其中 为大于零的未知参数，已知 是来自总体 的简单随机样本，则 的最大似然估计量为（　）。 (A) 　(B) (C) 　(D)

解析

选 D。

零计算的排除法：

• 与 在指数里成比例（），说明 的量纲是 → 估计量必须含 → A、C 出局；
• 最大似然的分母永远是 （ 是无偏修正的产物，与似然方程无关）→ B 出局。

这条排除法适用于所有 MLE 选择题

唯一的例外是题目明确问”无偏估计”或”修正后的估计”。

顺带：（验算：令 得 ， ✓），所以这个 MLE 恰好无偏。

1000 强化篇 第9章 12

原题 设总体 未知， 为来自总体 的简单随机样本，记 与 分别是 的矩估计量和最大似然估计量，求 以及对应的均值。

解析 这是瑞利分布。关键预备：令 ，则对

一阶矩（配成 ，或直接分部积分）：

（末步用了 ，即 的二阶矩为 。）

矩估计：令 ：

有偏，但偏差 ，是渐近无偏的。

最大似然：

矩估计与最大似然的胜负

无偏， 有偏；而且 用了 （需要那个丑陋的 ）， 只用 。 这道题里最大似然全面胜出——这也是一般规律：能求导时优先用最大似然，矩估计只在似然难处理时才占优。

本题与 1000 基础篇第 6 章第 8 题是同一族分布（ 与 ，对应 ）， 两题的 MLE 也一致： 与 ✓。

1000 强化篇 第9章 6

原题 设 是来自总体 的简单随机样本， 未知，记 的最大似然估计量为 ，则 ＿＿＿。

解析 注意 是已知的，这是全题的关键。故 MLE 不用 ：而 且相互独立，故

已知与未知，答案差一个因子

若 未知，，此时

两个答案分别是 与 ，后者略小。

判据只有一句：题目写的是 还是 。 写具体数字就是已知，自由度用 。 本题把 写成 而不是 ，就是为了让你不能靠”看到 才想起 已知”来蒙。

1000 基础篇 第6章 19（OCR 残缺，已重构）

题源说明

原 OCR 在”则 的”处截断（合并文件与拆分文件均如此），缺失的是”最大似然估计值为＿＿＿”。 按题设（容量为 的样本、给出样本值 ）重构如下。

原题（重构） 设 是来自正态总体 （）的一个简单随机样本， 为其样本值，则 的最大似然估计值为 ＿＿＿。

解析 ， 已知。直接套 880 第二十二章基础解答 7 的结果：

验证一下（从头推）：，

的极端情形反而最能说明 MLE 在做什么

只有一个观测 ，最大似然说：“选那个使这个观测最可能出现的 ”。 的密度在 处最”合理”（一个标准差处），故 。

它当然是个糟糕的估计（，与 无关地大），但无偏： ✓。 无偏 好，这是 有效性 存在的理由。

链接

• 概念：最大似然估计 · 最大似然的不变性 · 正态总体的抽样分布定理
• 用到的旧技术：随机变量函数的分布（、 的变换）
• 上一节：矩估计与一阶矩失效
• 下一节：先求分布再做估计
• 相关：边界型最大似然（求导失效的情形）· 无偏性
• 题库：数理统计题库 · 易错：易错清单