先求分布，再做估计（二维总体与函数变换）

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方法模板

一、题型识别与总策略

这类题的题面上有一个明显特征：总体不是直接给的。要么给的是二维总体 ，要么给的是某个函数 ，要么给的是条件密度。

第①步占分最多，也最容易在这里翻车。 一旦分布对了，后面就是标准流程。

二、二维样本的似然：样本点是”对”，不是”个”

是来自二维总体的简单随机样本，则

乘的是 个联合密度，不是 个边缘密度。 若 与 独立，联合密度可拆开，结果才等价于 项之积——但必须先验证独立性。

一个高频信号：

反例信号：定义域写成 ，不可分离 → 不独立。

三、条件密度给出的总体：先乘回联合

拿到联合密度后一定要合并指数、整理定义域，往往会塌成一个非常干净的形式。

四、 就是指数分布——一个反复出现的桥

只有自由度 的 恰好是指数分布（密度 ）。 这条把”二维正态的平方和”直接变成一个单参数指数总体，是本节最好用的一句话。

五、验算通道：归一化常数

拿到任何一个含参密度，先做一次 的验算。它能

• 定出题目里的待定常数（如”求 的值”）；
• 反查你读指数时有没有把 放错位置。

必考

880 第二十二章 基础解答 19

原题 设二维随机变量 的概率密度为 ，，。记 。 （Ⅰ）求 的概率密度 ； （Ⅱ）若 为来自总体 的简单随机样本，求 的最大似然估计量 ，并证明 是 的无偏估计量。

解析

（Ⅰ） 密度可分离：

故 独立且都服从 。于是

的密度为 （），令 ，：

（Ⅱ） 记 （把整个 当一个参数，最省事）：

无偏性：

把 当整体 + 不变性，比直接对 求导快一倍

若直接令 ：，求导得 ，，结果一样。 但换元法不会漏掉常数 ，而漏掉 会让答案差一倍。

1000 基础篇 第6章 10

原题 设二维总体 的概率密度为 为大于 的参数， 为来自总体的简单随机样本，则 的最大似然估计量为 ＿＿＿。

解析 密度与定义域都可分离 → ，都服从 ，。

分母是 不是

一共有 个观测值（ 对），每个都携带 的信息。 判据： 里 的幂次是 ，求导后就是 ，分母跟着变成 。

直观解释： 是全部 个观测的平均，等价于两个样本均值再平均。合理，因为 与 同分布。

1000 强化篇 第9章 3

原题 设 是来自总体 的简单随机样本，且 其中 为大于 的参数。记 ，，则 的最大似然估计量 与 分别为（　）。 (A) 　(B) (C) 　(D)

解析 先分离：

（验算常数： ✓；指数： ✓。）MLE：

→ 只剩 B、D。再算方差：

选 B。

无偏性可以当第二道验算

✓。 而选项 A、C 的 给出 ✗ 不无偏，直接排除。 指数族的 MLE 一定无偏（它就是样本均值的线性组合），所以”代期望验一遍”是零成本的排除法。

两块方差各占一半（都是 ）——这不是巧合，而是最优加权的结果，见 有效性与最优加权。

1000 强化篇 第9章 15

原题 设 服从参数为 的指数分布，在 （）的条件下， 的条件概率密度为 其中 为大于 的参数， 是来自总体 的简单随机样本。 (1) 求 的最大似然估计量 ；(2) 计算 。

解析

第一步：乘出联合密度。 （），故对

指数合并后塌成对称的 ，但定义域 不对称——所以 与 不独立。

（1）MLE

（2）方差 —— 这里不能用独立性拆，要先把 分解。

由条件密度，在 下 ，且这个条件分布与 无关，故可写于是

个样本点独立：

无偏性验算：，，故 ， ✓。

与第 3 题的对照：两条完全不同的路，同一个答案

	第 3 题	第 15 题
给的方式	联合密度，可分离	边缘 条件密度
关系	独立	不独立（）
联合密度		，

两题的 一模一样。 这不是巧合：两个模型都可以化成 个独立的、均值为 的指数变量的平均—— 第 3 题是 ，第 15 题是 。 每个这样的变量方差为 ， 个取平均即得 。考场上可以拿它互相验算。

本题的关键技巧是 的分解：条件分布”与 无关”是它成立的唯一条件（见 无记忆性）。 若硬算 与 也行（，），但分解法一行到底。

链接

• 概念：最大似然估计 · 联合分布与边缘分布 · 条件分布
• 用到的旧技术：独立性的可分离判据 · 随机变量函数的分布 · χ²(2) 就是指数分布
• 上一节：最大似然的标准流程
• 下一节：边界型最大似然
• 相关：有效性与最优加权（为什么 的两块方差相等）
• 题库：数理统计题库 · 易错：易错清单