数理统计易错清单（70 条）
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本章 题，是全书最重的一章。下面 条按八个板块排列，★ 标记的是头号失分点。
考前只看 ★ 也能挡掉大半。
一、抽样分布的构造与辨析（1–12）
1. ★ “和的平方”只贡献 个自由度，“平方的和”才贡献项数个。
标准化后是 ， 才是 。
自由度数的是独立的 有几个，不是 有几个。
2. ★ 时 不是 。 必须写 。
判据：、、 的答案里不可能剩下 ；剩下了就是漏了标准化。
3. ★ ”，“不蕴含独立，也不蕴含联合正态。
反驳三件套：取 或 ，立刻推翻” 正态"""""。
唯一安全的结论是只涉及单个变量的 。
4. 但” 是简单随机样本”自带独立同分布。 陷阱只在”设随机变量 均服从…”这种措辞下出现。
5. 的自由度顺序：分子的写在前面。 ，不是 。
6. 的定义式里上下各除自己的自由度。 不是 。
两个自由度相同时两个除数抵消，抵消不等于不存在。
7. ★ 分子分母共用了 时，必须先算协方差证独立。
且联合正态 独立。
跳过这一步，答案对也拿不到步骤分。
8. 分母若包含了分子里的那个 ，一定不独立。
里分母含 ✗； 才对。
求和下标是 还是 ，一个字母定生死。
9. 反解系数凑 ：每块的系数 ，自由度 块数。
时 的系数是 （方差 ），不是 。
10. 与 混用。 看到 ，先在草稿纸写下 、 两行再动笔。
常见错法：把 写成 （用了 ），把 写成 （用了 ）。
11. 分布的取值遍及整条实轴， 与 恒非负。
一个整体开了根号的量不可能服从 。
12. 二维正态的归一化常数 是免费的验算。
读完指数得到 后，回头对一下常数，能挡住 OCR 或抄写造成的错误。
二、分位数与查表（13–20）
13. ★★ 双侧查 ，单侧查 。
的双侧问题查 ；单侧查 。
这是全章重复出现次数最多的错误，区间估计、假设检验、反解样本量全都栽在这里。
14. 值不是分位数。 中， 是分位数、 是概率。
题目给 值时要先减一次：。
15. 必背四个数：，，，。
16. 的互反关系要交换自由度：。
只有 时 才与 同分布，此时 。
17. 没有任何对称性。 左右尾必须分别查，（它恒非负）。
18. ★ 对称分布平方后尾概率翻倍。
（，）。
漏掉这个 是分位数题的第一失分点。
19. 平方去绝对值前必须定符号。 ；若 则 ，答案变成 。
题设里的""不是装饰。
20. 查表前先把统计量化成标准形式。
要先写成 再对照分位数。
系数是 ： 在上、 在下，写反会差出好几倍。
三、样本均值与样本方差（21–28）
21. ★ 。 不是 ，也不是 （那是标准差）。
22. ★ 不是 ， 才是。
23. ★ 与 独立是正态总体的专利。 非正态总体下一般不独立。
凡是题目里 与 （或 ）相乘、相加、出现交叉项，第一句话就写”由正态总体下 ”。
24. ★ 型的交叉项，靠独立性 整体归零。
是算不出来的（ 服从 分布，考研不要求），但根本不需要算。
25. ★ 样本内减样本外，一个减号一个加号：
判据： 出现在 的求和里吗？在则减，不在则加。
26. 两样本之差的方差是相加：。
27. （正态总体），分母是 不是 。
来自 的 。
28. 离散型的均值事件要先乘回 。
（）等价于 ，不是 。
四、矩估计（29–34）
29. ★★ 一阶矩算出常数不是你算错，是题目要考的——立刻上二阶矩。
判据：密度关于某点对称、或取值关于中心对称，则 很可能不含 。
典型：、、取值 的对称分布、 的三点分布。
30. ★ 二阶矩方程用样本二阶原点矩 配 。
；只有 时它才等于 。
31. 样本二阶中心矩 的分母是 ， 的分母才是 。
矩估计用 ，无偏估计用 ，题目问哪个写哪个。
32. 反解出 后要验证它落在参数空间内。
如 要确认 ； 要有 。
33. 多参数必须列同样多的方程。 两个参数就要 与 （或 ）联立。
34. 陌生分布先换元认成标准分布。
写成 （）就是指数分布；
含 的公因子反解不出来时，考虑 作比消掉它。
五、最大似然（35–46）
35. ★★ 最大似然是”在参数空间上求最大值”，不是”解似然方程”。
方程只是可导情形下的一个手段。记住这句话，边界型题就不会束手无策。
36. ★★ 参数出现在密度的定义域里 求导法失效，改看单调性。
三个信号：支撑随 移动； 的导数恒正或恒负；密度含 。
37. ★ 边界型的口诀： 是上界就取 ，是下界就取 。
38. ★ “对所有 都有 ” 取那个量的最小值。
所以 的约束是 ——
出现在下界、 出现在上界，与直觉相反，必须机械地推。
39. ★★ 最大似然的分母恒为 。
，不是 。
选择题里看到 就排除（除非题目问的是无偏估计）。
40. 已知与未知， 与它的方差都不同。
判据只有一句：题目写的是 还是 。
41. 二维样本的似然是 个联合密度之积，不是 个边缘密度之积。
可分离（含定义域）才等价；定义域写成 就不可分离。
里 的幂次是 ，求导后分母跟着变成 。
42. 条件密度给的总体，先乘回联合密度并合并指数、整理定义域。
，往往会塌成很干净的形式。
43. 离散型第一步是”数个数”，不是”逐个乘”。
（ 是两个因子的总幂次），
一行出答案，不用真的求导。
44. 概率相同的取值要合并幂次。
时，一个 和两个 合起来贡献 。
45. 的最小值点是样本中位数，不是均值。
平方配均值，绝对值配中位数。 对 求导是无效操作（分段线性，折点在样本点上）。
46. MLE 可以不唯一。 的 ，整段区间都是 MLE；
偶数个样本时中位数型 MLE 也是一段区间。
六、不变性与估计量的评价（47–58）
47. ★★ 不变性只属于最大似然：，对任何 成立。
求 、 的 MLE，代进去就完，不要重新求导优化。
48. ★★ 无偏性没有不变性。
无偏但 不是 的无偏估计（）；
无偏但 不是 的无偏估计； 是 MLE 但不无偏。
题目问哪个性质，就用哪套规则。
49. ★ ，一行证明：。
50. 无偏要求”对每一个 都成立”。
反解常数时把 展成 的多项式，逐次幂比系数，比代特殊值保险。
51. 线性函数保持无偏，非线性不保持。
型只需验一次期望； 这类非线性统计量必须真的求分布。
52. ★ 极值统计量的偏向： 在右端 偏小（修正因子 ）； 在左端 偏大（修正因子 ）。
53. 有效性比较的前提是两者都无偏。 有偏的必须先修正，否则用一个常数（方差 ）就能赢过一切。
54. ★★ 最优加权：权重与方差成反比 。
方向记忆：（第二个估计量毫无信息）时 ，彻底忽略它。
选”方差大的给大权重”是本节最常见的错。
55. 两项就配方（）， 项就柯西（），都比拉格朗日快。
56. 样本容量不等时不能对半加权。 权重 自由度，这就是 的来历。
57. ★ 相合性 无偏性，两者互不蕴含。
无偏不相合； 相合不无偏。
相合性穿得过连续函数（连续映射定理），无偏性穿不过——这是两者最本质的差别。
58. 相合要写成依概率收敛 ，不是数列极限。
三条路线：①样本矩的连续函数（一句话）；②（切比雪夫）；③边界型直接算 。
七、区间估计（59–63）
59. ★★ 已知用 ，未知用 。 这是区间估计与假设检验共用的第一分叉。
60. 区间长度是半宽的两倍：。
已知时 是常数，故 、； 未知时 才随机。
61. 的置信区间：大分位数在分母给出下端点。
因为 在枢轴量的分母上，反解时不等号翻转。
62. 端点里不许留未知参数。 端点必须是统计量。
63. ★ 置信区间穿得过严格单调变换，两端点直接代入即可。
时，由 得 ——
别忘了函数里的那个 ； 递减时两端点要交换。
八、假设检验（64–70）
64. ★★ 与 的条件不能搞反。
口诀： 是真的被冤枉， 是假的被放过；“第一类”配”第一列”。
65. ★ 算 时必须代 的参数。 代成 的就变成 了。
同一个拒绝域，代 得 ，代 得 。
66. “不犯第二类错误的概率”是 ，不是 。
配套：，不是 。
67. ★ 复合 时 取边界点上的最大值。
在 处取到最大。
这也是”等号必须在 一侧”的理由——否则边界点不属于 ， 无从定义。
68. 拒绝域越大 越大。 ，一行搞定，不需要知道总体分布。
69. 检验统计量漏系数：，。
题目给 时要补上 ，最终式子里 与 两个都要出现。
70. ★ 结论必须翻译回中文，且措辞准确。
拒绝写”认为…”，不拒绝写”不能认为…”——
“不拒绝”只说明证据不足，不等于证明了 （因为 通常又大又未知）。
另外：题目给哪个分位数就检验哪个参数，给 就是让你查方差，不要去检验均值。
与前后章的连接
上一章（第20章）的这 5 条会原样延续到本章：
- 标准化的分母永远是标准差（， 在根号里）——本章第 21、69 条。
- 双侧 查 ——本章第 13 条，仍是最高频错误。
- 反解样本量向上取整——本章第 60 条的另一种问法。
- ，不是方差——本章第 30 条。
- 依概率收敛的极限必须是常数——本章第 58 条（相合性）。
本章新增而前面从未出现的三类错误：
- “参数在定义域里”这个信号（第 36–38 条）——第16–20章的密度定义域从不含参数。
- “无偏 / 有效 / 相合”三者互不蕴含（第 48、57 条）——第一次需要同时管理三个性质。
- 条件概率的方向（第 64 条）—— 与 的条件写反，是本章独有的失分方式。
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