区间估计

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方法模板

一、枢轴量三步法（全部区间估计题共用）

二、正态总体：四个必背的枢轴量

估计对象	条件	枢轴量	置信区间
	已知
	未知
	未知
	已知		同上，自由度换成

（因为 在枢轴量的分母上，反解时不等号翻转。）

三、双侧一律查

常用值：；。

单侧（只关心一端）才查 ： 的单侧下限用 。

四、区间长度：一个确定的数

已知时

未知时 才是随机的，此时 要用 （一般算不出）。

（这与 反解样本容量 是同一件事的两种问法。）

五、单调变换：区间可以整体搬过去

理由一行： 与 是同一个事件，概率当然相同。

（ 递减时两端点要交换位置。）

六、非正态总体：两条出路

• 大样本 → 中心极限定理，，照用 ；
• 特殊结构 → 找专门的枢轴量，如 用 （见那一节）。

必考

1000 强化篇 第9章 24

原题 设总体 的数学期望存在且方差为 ，根据来自 的容量为 的简单随机样本测得样本均值为 ，，则 的数学期望的置信度等于 的置信区间为（　）。 (A) 　(B) (C) 　(D)

解析 已知，，：

选 A。

总体分布没给，凭什么用

题目只说”数学期望存在且方差为 “，没说正态。这里用的是中心极限定理的近似： 时 。考研中”方差已知 + 不提分布”默认走这条路。

四个错误选项各对应一个典型失误：

• B 之类的凑数；实际上 ，把 写成了 ；
• C ，把 当成了 ；
• D ，直接把 当成了半宽。

这一步写清楚，四选一就没有悬念。

1000 强化篇 第9章 25

原题 设总体 ，其中 为未知参数， 是来自总体 的简单随机样本，记关于 的置信度为 的置信区间长度为 ，则 的数学期望 （　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 已知，，双侧 查 ：

是一个常数（不含 ，也不含 ），故

选 B。

两个各占一半错误率的坑

1. 长度是半宽的两倍：半宽 ，长度要再乘 。选项 A 就是漏乘的。
2. 双侧查 ： 查 。选项 C、D 用的是 。

题目问""而不是""，是想看你有没有意识到 已知时 根本不随机。 若把 换成” 未知”， 才是随机的，那时 需要 ，考研不会考。

1000 基础篇 第6章 21

原题 设一批零件的长度服从正态分布 ，其中 已知， 未知。现从中随机抽取 个零件，测得样本均值为 ，则当置信度为 时， 大于 的接受条件为（　）。 (A) 　(B) (C) 　(D)

解析 ” 大于 “只关心下限，是单侧问题 → 查 ，不是 。

单侧置信下限：由 反解即 的置信度 单侧置信区间是 。

“接受 ” 这个区间整个落在 右边 下限 ：

选 C。

两个分叉，各砍一半选项

• 单侧 vs 双侧：只问一个方向 → 查 → 砍掉 B、D；
• 移项的符号：把 从左边移到右边变 → 砍掉 A。

A 是最迷惑的选项：它把”置信下限的表达式”直接当成了答案，忘了还要和 比。

这道题实质上已经是单侧假设检验（ vs ）： “置信区间不含 ” 与 “拒绝 ” 是同一件事，见 正态总体的三大检验。

880 第二十二章 基础解答 21

原题 设 为来自总体 的简单随机样本值， 服从正态分布 ，已知 。求： （Ⅰ）；（Ⅱ） 的置信度为 的置信区间；（Ⅲ） 的置信度为 的置信区间。

解析

（Ⅰ） ，。用正态分布的矩母函数 ，取 、：

若忘了母函数，直接积分也很快：

配方：，剩下的积分是完整的正态密度积分 ，故结果为 。

（Ⅱ） 样本转到 上：。注意这四个数的乘积：

已知，，双侧 查 ：

（Ⅲ） ，而 关于 严格单调递增，故把区间两端直接代入：

（数值约为 。）

三问是一条完整的链，第（Ⅱ）问的乘积为 是命题人送的礼物

，，——乘积恰好是 ，于是 ，区间关于原点对称。 考场上先算这个乘积，比逐个求对数快得多（而且 、 这些数根本算不出来）。

第（Ⅲ）问是本题的分水岭。 三种错误做法：

1. 用 做点估计然后自己造区间 ✗；
2. 忘了 ，写成 ✗；
3. 试图对 重新构造枢轴量 ✗（做得出来，但完全没必要）。

这条性质无偏性没有（ 不是 的无偏估计），最大似然有（不变性）。 三个性质里，只有无偏性穿不过非线性函数。

链接

• 概念：置信区间 · 分位数与临界值 · 正态总体的抽样分布定理
• 上一节：有效性与最优加权
• 下一节：假设检验的概念
• 相关：反解样本容量（区间长度的另一种问法）· 均匀分布族（非正态总体的枢轴量）· 最大似然的不变性
• 前一章：中心极限定理（非正态总体时区间估计的依据）
• 题库：数理统计题库 · 易错：易错清单