中心极限定理

🏠 第20章概念导航

核心问题

大量独立的小随机因素叠加起来，会长成什么样？

大数定律告诉我们 ，但那是一句”最终塌成一个点”的粗话。中心极限定理问得更细：在塌缩的过程中，涨落的形状是什么？ 答案出人意料地统一——不管原来的分布是什么，涨落一律是正态的。

这也是正态分布在自然界和统计学里无处不在的原因。

核心定义 / 定理 / 结论

一、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布版）

设 相互独立、同分布，，，则

三个位置各有出处，记混一个就全错：

二、棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布版）

取 即得：若 ，则

这是历史上第一个中心极限定理，也是”个数""次数”型应用题的标准工具。

三、实用形式

两者是同一句话（上下同除 ）。做数值题时用哪个，看题目给的是和还是均值。

四、 的三条化简规则

选择题的选项一律写成 的组合，算出 必须换成 才对得上。

五、常用分位数

，满足

双侧概率 查的是 。 双侧 用 ，双侧 用 。这套记号第22、23章要用一整章。

六、反解样本量

与 成反比：精度提高一倍，样本量要变成 4 倍。这是所有” 律”的现金代价。

七、条件的边界

三个条件缺一不可：①独立 ②同分布 ③。

• 缺③：柯西分布，标准化后永不正态；
• 缺②：需改用李雅普诺夫定理（考纲不要求），列维—林德伯格失效；
• “同期望同方差”不等于”同分布”——这是选择题的头号干扰项，因为结论里只出现 ，容易误以为条件也只需要它们。

典型题型

A. 反解常数（占一半）：题目给 ，求常数。

不必回忆标准形式长什么样。

B. 求极限分布：算出 ，则 ——除以标准差，不是乘。

C. 数值应用题：设变量 → 认分布 → 算 → 把中文翻译成不等式 → 标准化查 。难点在翻译，不在查表。

D. 反解样本量：见 §六。

图示 / 直觉

同一个 ，用两种尺度去看：

• 用尺度 看：偏差消失了 —— 大数定律（塌成一根针）；
• 用尺度 看（即乘上 ）：偏差重新显形，且形状是钟形 —— 中心极限定理。

“为什么是正态”的一句话解释：标准化后的和只保留了前两阶矩的信息，更高阶的细节在 的稀释下全部消失——所以极限只能依赖 和 ，而具备这两个参数的”稳定形状”就是正态。

常见误用

1. 分母忘开方，写成 或 。
2. 的伸缩做反：，除不是乘。
3. 不换号，在选项里找不到就慌。
4. 分子系数没平方：。
5. 单位不统一（小时/分钟、万元/元）。应用题头号事故。
6. 双侧概率查错分位数：，不是 。
7. 求”至少多少件”时四舍五入：必须向上取整。
8. “同期望同方差”当成定理条件。
9. 对区间非对称的事件套 。

与旧知识的连接

• 第17章的正态分布： 的性质、标准化操作在这里原样复用（正态分布与标准化）。
• 第18章的可加性：独立正态之和仍正态（卷积公式与可加性）——中心极限定理说的是”不是正态的也会变成正态”，是可加性的极限版。
• 第19章的 ：定理的两个输入参数全部来自上一章。
• 第21章： 在正态总体下是精确成立的（不再是近似），本章的近似式在那里升级为等式。

题型训练

• 中心极限定理的标准化与反解常数（5 题）
• 中心极限定理的数值应用（4 题）
• 定理前提的辨析（2 题）

链接

• 独立同分布之和的标准化
• 大数定律
• 正态分布与标准化
• 伯努利试验与二项模型
• 常见分布数字特征表