依概率收敛

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核心问题

一列随机变量”趋于”一个数，是什么意思？

数列 的含义很清楚。但 是随机的，它可能永远有一点点概率取到很远的值。依概率收敛的答案是：不要求每次都靠近，只要求”离得远”这件事的概率趋于零。

核心定义 / 定理 / 结论

一、定义

等价写法（考试最爱在这两种写法之间设干扰项）：

记忆法：“落在邻域里面”是好事，概率趋于 1。

二、极限必须是常数

这是最实用的自检：算出的”极限”里若还剩 、 或 ，一定是少取了一层期望，或者定理的前提不成立。见 定理前提的辨析。

三、判定的两把工具

工具一：切比雪夫不等式（万能，但要方差）证明：。

工具二：大数定律（不要方差，但要独立同分布）

见 大数定律。

四、运算法则

设 ，，则

连续映射定理（用得最多）：

例：。这是第22章证明矩估计相合性的全部工具。

五、与依分布收敛的关系

	依概率收敛	依分布收敛
说的是	随机变量本身靠近	分布函数靠近
本章出处	大数定律	中心极限定理
极限形态	一个常数	一个分布（）

（两条定理各自的详页：大数定律、中心极限定理。）

典型题型

绝对主流的一类：求 依概率收敛于什么。 两步流水线——

占绝对多数，答案是二阶原点矩 ，不是方差。

图示 / 直觉

把 的密度想象成一座山：

• 依概率收敛于 山不断变窄变高，最终塌缩成 处的一根针；
• 依分布收敛于 山的形状趋于钟形，但位置和宽度已经先被标准化固定住了。

同一个 ，看的尺度不同，得到两条不同的定理——这是本章最值得记住的一幅图。

常见误用

1. 定义式的”/“与”/“配错。（选择题的标准干扰项）
2. 答案里留着随机变量。 如 就停手，忘了再对 取期望。
3. 把极限写成 或 。 收敛到 。
4. 以为 蕴含 。 不成立（尾部可以携带发散的期望），反例：，，则 但 。
5. 把依分布收敛当依概率收敛用。 依分布收敛到 ，它不依概率收敛到任何常数。

与旧知识的连接

• 高数的 - 语言：定义里的 与数列极限同构，差别只在""换成了""——把确定性的判断换成了概率的判断。
• 高数的夹逼准则：所有依概率收敛的证明最后一步都是 。

题型训练

• 依概率收敛与辛钦大数定律（4 题）
• 非同分布场合的大数定律（3 题）
• 定理前提的辨析（Ⅲ问考”不存在”）

链接

• 大数定律
• 中心极限定理
• 切比雪夫不等式
• 数学期望与 LOTUS