第20章 大数定律与中心极限定理 易错点（40 条）
🏠 第20章概念导航 · 极限定理题库
标 ★ 的是本章头号失分点，考前只看 ★ 也够用。
全章可以压缩成三句话：大数定律说跑到哪，中心极限定理说抖多大；标准化的分母永远是标准差；定理的前提比结论更值得检查。
一、切比雪夫不等式（1–7）
1. ★ 区间不以 为中心还硬套。 能直接用切比雪夫，当且仅当 。中心对不上时，第一反应应该是回头查 算错没有——命题人几乎总把区间配成对称的。
2. ★ 求 时漏掉 。 题目给了 就一定要用。判据：给 就不可加，说”独立/不相关”才可加。 切比雪夫题的分丢在方差上的，比丢在不等式上的多得多。
3. 分母写成 而不是 。 平方来自 这一步（马尔可夫不等式的取法）。
4. 两个方向记混。 ""配""，""配""。题目问”不小于”就要用带 的那个。
5. 用切比雪夫去做数值近似。 它的界很松（ 时给 ，正态真值只有 ）。要”界”用切比雪夫，要”值”用中心极限定理，题干动词就是路标。
6. 时以为算错了。 此时界 ，不等式成立但无信息。这是固有局限。张宇基础 8 的条件 正是为此。
7. 反解题里忘记”中心必须是期望”这个隐含方程。 见到 的形式， 就是 ——这往往是反解分布参数的唯一入口（李林基础填空 3 由此定出 ）。
二、依概率收敛与大数定律（8–20）
8. ★★ 的极限是 ，不是 ，也不是 。 本章第一失分点。正确路径：。
9. ★ 定义式的不等号与右端配错。 ；。“落在里面”是好事，概率趋于 1。 选择题把四种组合排出来做干扰项（李林基础选择 3 的 B 项）。
10. ★ 答案里留着随机变量。 算到 就停手，忘了对 再取一次期望。依概率收敛的极限必须是一个数。
11. ★ 答案里留着 。 若”极限”含 ，说明大数定律的前提（总体分布固定）已经不成立——这正是李林基础解答 2 第Ⅲ问的考点。
12. 忘了先确认 仍独立同分布。 这一步是免费的（独立性对函数保持），但解答题必须写出来。
13. 不同分布还用辛钦。 下标 钻进分布里（取值或概率含 ）就必须改用切比雪夫版大数定律。判据：参数带 → 切比雪夫。
14. “方差都有限”当成”方差一致有界”。 必须存在与 无关的上界 。若 ，则 ，定理失效。
15. 写证明时省掉方差上界的验证。 这是评分点。李林基础解答 3 的核心分就在算出 并指出它与 无关。
16. 写证明时省掉左边的 。 没有夹逼就只证了”小于某个趋于 0 的量”，不构成极限为 0 的证明。
17. 同期望当成同分布。 全等于 0 不代表同分布（李林基础解答 3 就是这种情形）。
18. 忘记柯西这个反例。 “独立同分布”还不够，期望必须存在。柯西分布的 与单个 同分布，平均多少次都不收敛。
19. 以为 蕴含 。 不成立。反例：，，则 而 。
20. ”……的个数”没往指示变量上想。 见到”个数""次数""频率”就写 ，极限是对应的概率。
三、中心极限定理的标准化（21–29）
21. ★★ 分母忘开方。 标准化的分母是标准差 ，不是方差 ，也不是 。 在根号里。
22. ★ 在期望里是一次、在标准差里是 次。 、。张宇强化 1 的四个选项就是这两个位置漏不漏 的四种组合。快速排除： 里必须含 ， 里也必须含 。
23. ★ 的伸缩做反。 ，除以标准差，不是乘。
方向验算（写一遍就不会错）： 表示 比标准正态更分散，对 落在 里的概率应当更小；而 确实给出 ✓。
24. 分子上的系数没平方。 。张宇基础 3 的选项 (D) 正是漏平方的产物。
25. 写成 。 独立时相加：。写成 0 会导致 无解。
26. 数错：打包后求和项的个数才是 。 用掉 个原始变量，但求和号里只有 项。误按 走会得到 。
27. ★ 忘了检查 是否趋于 0。 分母取大了，式子会被压成常数 0，答案是 1 而不是某个 值。李林基础解答 2 第Ⅱ问就是这个陷阱：分母 比真标准差 大了 倍。动手前先把分母和 摆在一起比一比。
28. 不等号右边带 就慌。 先把 除过去还原成标准形式再对齐，否则容易把倍数写成倒数。
29. 反解常数时忘了正负号讨论。 都使极限等于 （因为 ）。填空按惯例取正。
四、数值应用题（30–36）
30. ★★ 单位不统一。 小时与分钟、万元与元。这是应用题头号事故。先把所有量化到同一单位再动笔。
31. ★ 指数分布的 写反。 题面给”平均时间 10 分钟”，给的是 ，即 。“平均……”给的永远是 。
32. ★ 指数分布的方差是期望的平方。 ，不是 。自检：标准化后凑不成整数就是算错了。
33. ★ 不换号。 选项一律写成 的组合，必须用 化过去。张宇基础 4 的 (A) 正是”把 抄成 ”。
34. 对非对称区间套 。 该公式只适用于关于均值对称的区间。张宇基础 4 的 关于 1000 并不对称。
35. “不超过 “写成 。 ，不带 。见到 先问自己事件是不是取了补。
36. 写成 1。 不是 。 很小时两者接近（泊松近似），可作验算，但不能当等号。
五、反解样本量与前提辨析（37–40）
37. ★★ 双侧概率查错分位数。 。直接拿 查得 是头号错误（会把 271 件算成 165 件）。口诀：双侧 ，查 。
38. ★ “至少要多少”四舍五入。 。反解样本量一律向上取整。
39. ★★ 把”同期望同方差”当成中心极限定理的条件。 结论里只出现 ，不代表条件里也只需要它们——推导用到整个分布（特征函数）。李林基础选择 2 的 D 项就是这个。同分布 同期望同方差，反之不成立。
40. ★★ 总体分布随 漂移时照套大数定律。 密度里出现的 若与样本量是同一个 ，就不存在”固定的总体”，辛钦定理无从谈起。依概率收敛的极限里不许出现 ——这条自检能挡住李林基础解答 2 第Ⅲ问的全部错解。
下一章易错：这 5 条会原样延续到数理统计
- 标准化的分母永远是标准差（， 在根号里）—— 检验统计量、置信区间全靠它。
- 双侧 查 —— 在下一章是重复出现次数最多的错误。
- 反解样本量向上取整 —— 区间长度的另一种问法。
- ，不是方差 —— 矩估计上二阶矩时的第一失分点。
- 依概率收敛的极限必须是常数 —— 在下一章叫”相合性”。
完整的 70 条见 数理统计易错清单。
链接