考研笔记

切比雪夫不等式：把方差翻译成概率界

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方法模板

一、不等式本身

设 ， 存在，则对任意 ，

两个方向是同一句话的正反面，题目问 就用左边，问 就用右边，不要背混。

它的分量在于：只要知道 和 这两个数，就能对概率给出界，完全不需要分布。这是本章唯一一个”不问分布”的工具，也是弱大数定律的证明引擎。

二、三步操作流程

用切比雪夫做题永远是这三步，一步都不能少：

①算②算③把题目的区间配成的形式

第③步是全部难点。 题目给你的往往是 ，你必须先验证 ——区间必须以期望为中心，然后 ：

仅当

区间不以期望为中心，切比雪夫用不了

若 ，直接套公式得到的不是这个区间的界。 正确做法是取以 为中心、被 包含的最大对称区间，得到的是一个更弱（但正确）的界。 考场上碰到 ，第一反应应该是回头检查 有没有算错——命题人几乎总是把区间配成对称的。

三、①②两步最常出错的地方： 不是简单相加

  • 独立（或仅需两两不相关） → 协方差项全为零，方差可加；
  • 给了 → 必须补上 。

本节四道题里，两道考的就是这一步（一道独立、一道相关），切比雪夫本身反而只是最后一行代数。这是本节的真实考点：

切比雪夫题的难度全在算，不在不等式

四、常用数字特征（本节反复调用）

分布
（即 ，）
（密度 ）

完整表见 常见分布数字特征表。

必考

880 第二十章 基础填空 1

原题 设随机变量 服从二项分布 ，，且 相互独立，则根据切比雪夫不等式，有 ____.

解析

注意 里第二个参数固定是 ，第一个参数随 变——所以这十个变量独立但不同分布。不过切比雪夫不等式对单个随机变量成立，不需要同分布，只要能算出和的期望与方差就行。

记 。

①期望（可加性无条件成立）：，②方差（用到独立）：，③配区间： ✓，中心对上了，。

出现两次，只算一次

期望和方差的求和都归结到同一个 ：，。 于是 ——这正是二项分布的反解关系 ，对二项分布的独立和依然成立（因为两边都对 线性）。可以用它秒验 有没有算错。

别把 看成

十个变量的参数是 ，不是同一个。若误当成同分布，会得到 ，中心立刻对不上 。 中心对不上就是算错了的信号——这是本题自带的验算机制。

880 第二十章 基础填空 2

原题 设 与 满足：，，，，，则根据切比雪夫不等式，有 ____.

解析

令 。

①期望：。

这一步是本题的巧妙之处：，所以题目里的 本身就已经是 的形式，不需要再配。

②方差（，协方差项不能丢）：

③套式（）：

头号错误：漏掉

直接写 得 ——这是本题的标准错误答案。 题目专门给了 ，就是要你用它。 判据很简单：题目给了 （或协方差），方差就一定不可加；题目说”独立”或”不相关”，才可以直接相加。见 协方差的双线性展开。

、 的设计意图

两个期望恰好相反，就是为了让 ，使 直接落成中心化形式。 如果 ，题目问的 就不能直接用切比雪夫——那时 与 不是同一个事件。 看到切比雪夫题，先算期望是不是零或者是不是区间中心，这是判断题目”配没配好”的第一动作。

880 第二十章 基础填空 3

原题 设 在区间 上服从均匀分布，由切比雪夫不等式有 ，则 ____， ____.

解析

这是把切比雪夫倒过来用：给你界，反解参数。

关键的第一步是识别 里的 是什么。 切比雪夫不等式的中心只能是期望，所以

于是 ，，第二步，题目说”由切比雪夫不等式有 “，意思是这个下界恰好取到 ：

（，舍去 。）

两问是串联的， 必须先求

依赖 ， 依赖 ， 只能由”中心 期望”这一条定出来。 所以本题真正的考点是那句没写出来的话：切比雪夫不等式里的减数必须是 。 这个隐含条件正是上一题（填空 2）里 的同一个考点，两题一正一反。

验算：这个界有多松？

，真实的 。切比雪夫只给出 。 差了整整 ——切比雪夫的界通常很松，因为它只用到二阶矩，把分布的全部形状信息都扔掉了。 这一点在下一节很关键：正因为松，它足以证明大数定律（只需要界趋于 0），却不能用来做精确的数值近似——那是中心极限定理的活。见 中心极限定理的数值应用。

1000 基础篇 第5章 8

原题 设 是来自总体 的简单随机样本，由切比雪夫不等式得 不小于 ____.

解析

令 。

①②数字特征——两条路都能走：

路线一（认分布）： 独立，故 ，直接查表 ，。

路线二（不认分布，直接算矩）：，而正态的四阶矩 （），所以， 相互独立（独立性对函数的保持性），于是 ，。

两条路必须给出同样的答案，这就是 的 、 的来历——它不是需要死记的新公式，就是 和 各乘 。

③配区间： ✓，。

答案带 且随 趋于 1，这就是大数定律的雏形

：样本量越大， 落在 1 附近越确定。 把上式除以 重写一遍：。 这正是辛钦大数定律 的一个定量版本。 切比雪夫不等式加上”方差被 稀释”，就是全部大数定律的证明。 见 依概率收敛与辛钦大数定律。

条件 是为了让答案有意义

时 ， 时 ，都是废话（概率本来就 ）。 切比雪夫只在 时才给出有信息的界，这是它的固有局限。

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