考研笔记

协方差与相关系数的计算：双线性展开

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方法模板

一、协方差的三条基本性质

对称自身常数无关

第三条意味着所有的均值、常数项在算协方差时可以直接扔掉——这能省掉大量抄写。

二、双线性：像多项式乘法一样展开

“每一项配每一项，系数相乘”，和 的展开一模一样。展完之后把 换成 即可。

由它立得方差的通式：

两个必须刻进肌肉的特例：

注意 里前两项仍是加号——方差永远不减，变号的只有交叉项。这是全章第一号笔误来源。

三、相关系数：标准化后的协方差

反过来用得更多：

题目给 时，第一步永远是把它翻译成 ，因为只有 才能参与双线性展开， 不能。

当所有方差都等于 1 时

，协方差与相关系数数值上就是同一个东西。 出题人很喜欢设 ，就是为了让你直接把 当 用（本节 880 基础解答 2 正是如此）。

四、计算 的固定三步

给 ，，求 ：

  1. 分子：；
  2. 分母：， 同理换 ；
  3. 相除， 或 这类公因子通常会约干净。

第 3 步的公因子一定会约掉

是无量纲的：把 同时乘一个常数， 不变。 所以若最后答案里还留着 或 ，必然算错了（除非题目里 的方差本来就不成比例）。这是极好用的自检。

五、样本均值的两条常用协方差

独立同分布，，：

（第一条：，因为 的项全为 。）

两者相等是个漂亮的巧合，用起来很省事。由此立刻得到离差 的方差：

六、与线性代数的接口

把 的协方差排成矩阵 ，则对任意常向量 ：

这就是二次型——而且因为方差非负， 必半正定。线代 第15章二次型 学的正定性判据在这里全部可以复用，详见 协方差矩阵与半正定性。

一个直接推论：（即 ），因为 半正定矩阵的行列式 ：

必考

880 第十九章基础解答 2

原题 设随机变量 满足 ，，，，，，求 ，.

解析

期望（线性性，无条件成立）：

方差：因为三个方差都是 ，，所以

代入三元方差公式：

三个交叉项恰好抵消，是出题人的设计

与 一正一负、大小相同，加起来正好为零，于是方差看上去”像是独立的情形”。 但 绝不独立——只是这一个特定的线性组合恰好感受不到相依性。如果换成 ，交叉项就变成 ，答案是 ，立刻不一样了。 别把”某个组合的方差可加”误当成”独立”。

别忘了三元方差有 3 个交叉项

个变量有 对， 时是 对，都要写。 常见错误是只写 和 ，漏掉”隔了一个位置”的 。按 的顺序机械地列，不要凭感觉。

880 第十九章基础填空 5

原题 设 ，若 与 不相关，则相关系数 ____.

解析 分母上的 、 可以直接扔掉——协方差是双线性的，正的常数因子不影响”是否为零”：

所以只需 。展开（四项，系数相乘）：

代入 （两个方差都是 ）：

交叉项有两个，不是一个

展开时 和 都含 ，合并后系数是 。 只写一个会得到 或 。用”多项式乘法”的口诀机械展开成 项，再合并，就不会漏。

为什么这里"不相关"就够了

题目说的是二维正态，其线性变换仍是二维正态，此时不相关 独立。 所以本题条件既可以写成”不相关”也可以写成”独立”，答案一样。换成非正态就完全不同了——见 不相关但不独立的反例谱。

880 第十九章综合填空 5

原题 设 ，，，则 ____.

解析 记号 给出 ，（故 ，且二维正态下这就是独立）。均值 对协方差没有任何影响，直接忽略。

按模板第四条三步走：

—— 平方差公式

当 时，交叉项自动消失，只剩”平方差”的形状。这个式子在本章出现了至少四次：

  • ： → 不相关 （不相关的等价刻画 里的 880 基础选择 4）；
  • ：本题；
  • 第18章的菱形题： 独立。

一句话记住：和与差不相关 两者方差相等（在 前提下）。

里的 是加不是减

，系数要平方，负号平方后消失。 若写成 就出现了负方差——方差为负立刻说明算错，这是最容易自查的一类错误。

1000 基础第4章 19

原题 设随机变量 均服从参数为 的泊松分布，且 ，，则 与 的相关系数为 ____.

解析 泊松分布 ，故 ，先把 翻译成协方差：，分子：

分母：

约干净了 —— 这是正确性的信号

如模板第四条所说， 无量纲， 必须消失。若最后还剩着 或 ，回头查交叉项。 另外注意 落在 内 ✓——算完 一定要看一眼有没有超出 ，超出就是算错了。

的交叉项系数是

公式 里的 。 常见错误是只写 （漏掉 ），得到 ，最终答案变成 ——看上去也挺”合理”，所以更危险。

880 第十九章综合解答 2

原题 设 为独立同分布的随机变量，且均服从 ，，其中 . 求： (Ⅰ) ；(Ⅱ) .

解析 这里 。全部计算的基石是两条（模板第五条）：

（第一条里， 展开成 后，只有 那一项非零。）

(Ⅰ)

(Ⅱ) 分子按双线性展开成四项（，，）：

独立

由 (Ⅰ)，，故

负相关是必然的，因为离差之和恒为零

。一堆和恒为零的变量，必然彼此负相关——某个大了，别的就得小。 这个约束还能反过来验证答案：对恒等式两边取方差，

解出 ✓ 一个方程验两个答案，非常值得在考场上花十秒做。

时

样本量越大， 对单个 的”牵制”越弱，离差之间越接近独立。 这解释了为什么大样本统计里可以把 近似当作独立处理。 也是同一个道理—— 从 里抽走的那点信息越来越可以忽略。这两个结论在第21章样本方差 的自由度 那里会再次出现。

拓展

1000 基础第4章 17

原题 设随机变量 ，，且 ，若 与 相互独立，，则 . A. 　B. C. 　D.

解析 是二维正态的线性变换，仍服从二维正态，因此与独立，展开（四项，注意 的写法是 ）：

与与与与

代入 ，并用二倍角把 、 收拢：

由 可以两边除以它：

选 C。

量纲检验两秒排除 A、B

是无量纲的。若给 统一乘上单位（比如”米”），则 有一次量纲：

  • C、D 的 是 米米 ✓ 无量纲；
  • A、B 的 是 米米米 ✗。

量纲分析在概率题里同样好使，尤其对付这种”选项只差平方”的题。剩下 C、D 只需定符号： 且 时应当怎样？沿主轴旋转要把大方差方向转正， 与 同号，故分母取 ，选 C。

这道题的几何意义：给椭圆找主轴

是把坐标系旋转 角得到的新坐标。要求它们独立，就是要求新坐标轴对准等高椭圆 的两条主轴——旋转掉交叉项。 这就是线代里实对称矩阵的正交对角化：， 是旋转矩阵， 的对角元是 的方差。 而 正是二次型 消去交叉项的经典公式——同一个公式，线代叫”化标准形”，概率叫”主成分”。 见 协方差矩阵与半正定性 与 线代第15章 二次型。 题目要求 ，正是因为 时等高线是圆，任何方向都是主轴， 不唯一。

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