考研笔记

的线性不变性与

🏠 第19章概念导航 · 数字特征题库

方法模板

一、线性不变性： 只记方向，不记大小

推导两行：分子 ，分母 ，相除得 。

三条推论，都要能脱口而出：

  • 平移完全不影响 （ 消失）；
  • 正伸缩完全不影响 ；
  • 一个变量取相反数， 变号。

这就是为什么说 是”无量纲的、标准化的”相依性度量：换单位（摄氏度换华氏度、米换厘米） 纹丝不动，而 会跟着变。

二、 的刻画：退化成一条直线

使

证明（也是 的证明，值得看一遍）：把两个变量标准化，，，则 ，。于是

等号成立 某个 退化为常数 是 的线性函数。“方差为零就是退化成常数”是全部关节所在。

三、从 反解那条直线

已知 ，直线的系数被完全确定：

记忆： 是”两个标准差之比”（尺度必须匹配），符号由 定，截距让两边期望对上。

于是 、、 时立刻得 ，，即 。三秒钟，不用算积分。

四、 只看得见”直线”

度量的是线性相依程度，不是有没有关系

两个变量可以有严格的函数关系（知道 就完全知道 ）却 ——只要那个函数不是直线。经典例子：

  • ，：，但 由 唯一确定；
  • ，：，但 。

反过来， 是相依性的顶格：不但有关系，而且这个关系是一条直线，一点随机性都不剩。

识别"隐藏的线性关系"

本节的核心解题动作只有一个：在两个看起来复杂的表达式之间，找出一条恒等式形式的直线。

  • → 两者是斜率 的直线；
  • → 直接就是直线；
  • → 明写的直线。

一旦找到， 只剩下判号，不需要任何计算。

必考

880 第十九章基础选择 6

原题 设 ，，且 ，则（　）. A. 　B. C. 　D.

解析 说明 与 之间以概率 1 成立一个正斜率的线性关系 ，。用模板第三条定系数：

故 ，选 A。

另解（逐项验算，选择题最稳） 只需检查每个候选式子能否同时对上 与 ：

  • A： ✓， ✓，斜率 对应 ✓；
  • B： ✓， ✓，但斜率 给出 ✗；
  • C： ✗；
  • D： ✗。

B 是唯一有杀伤力的干扰项，它把期望和方差都配对了，只在符号上出错。所以定完 之后，一定要回头看一眼 的符号。

为什么 能推出确定的直线

由模板第二条，，即 以概率 1 等于常数；再由两边期望都为 ，那个常数只能是 。整理即得 。 注意这里”以概率 1”不能省——严格说 与 可以在一个零概率集上不等，所以答案写成 而不是 。

880 第十九章基础选择 7

原题 设随机变量 在 上服从均匀分布，，，则 . A. 　B. 　C. 　D.

解析 一个三角恒等式解决全部问题：对一切 ，，于是恒有，这是斜率为 的线性关系（以概率 1 成立，其实是处处成立）。由模板第二条，，选 B。

不要真去算

那会是一场噩梦：，还得处理 的方差。 看见 与 并排出现，先写恒等式。 同一个陷阱的其他版本：

  • ；
  • 与 ，；
  • 与 ，。

的分布是干扰信息

题目说” 在 上均匀”，但答案与 的分布毫无关系——只要 落在 内使两个反三角函数有定义、且不退化即可。 恒等式型的题一律如此：给你的分布只是为了保证定义域合法。看穿这一点能省下大量试图代入密度的时间。

880 第十九章综合选择 3

原题 设随机变量 与 相关，相关系数为 ，（ 为常数），则 的充分必要条件为（　）. A. 　B. 　C. 　D.

解析 直接用模板第一条（这里 没有变换，相当于 ）：，题设” 与 相关”，即 ，因此可以约掉它：，选 A。

" 与 相关"这四个字是必要的

若允许 ，那么 对任何 都成立，答案就会变成 C。 出题人特意写”相关”，就是为了把 C 排除掉。 读题时这类限定词一个都不能跳过。

另外 时 退化，， 根本没有定义（分母为零），所以四个选项都默认 。

D 是"充分不必要"的典型

当然能推出 ，但 、 也行。 选择题里问”充分必要条件”时，先找出完整的等价条件，再看哪个选项与它一字不差。 只满足充分性的选项（这里的 D）是最常见的陷阱。

1000 基础第4章 18

原题 设存在非零常数 使得 ，则随机变量 与 的相关系数 满足（　）. A. 　B. 　C. 　D.

解析 从条件里解出 ：，这是一条过原点、斜率为 的直线。由模板第二条，，选 B。

具体说： 时 斜率为负， ✓； 时斜率为正， ✓。

符号最容易在这里翻车

条件写的是 ，移项得 ——斜率是 ，不是 。 漏掉这个负号就选成 A。选项 A 与 B 只差一个负号，说明出题人就是冲着这个移项来的。

C、D 各错在哪

  • C（）：恰好说反了。存在这样的线性关系， 必然取到边界值 1，不可能严格在开区间内。
  • D（）：把 和斜率混为一谈。 只记录斜率的符号，完全不记录斜率的大小——这正是模板第一条的核心。若 ， 仍是 而非 （那还超出了 ，本身就荒谬）。

D 这个选项是检验”是否真的理解 无量纲”的试金石。

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