不相关的等价刻画：方差可加
方法模板
一、六个说法是同一件事
统称”
后三条的来源是同一个展开式：
这个恒等式（数学上叫极化恒等式）是本节最好用的一条——它把”协方差”完全用”方差”表达出来，凡是题目里只给方差不给协方差，就用它。
二、独立
正方向的理由：独立时
反方向失败的理由：
这是本章最高频的选择题考点
“不相关”是比”独立”弱得多的条件。看到选项里出现”相互独立”，先问一句：题目给的信息够不够强？ 只给了
、 这一类关于矩的等式，就只能推出不相关，永远推不出独立。
三、两个例外：不相关就是独立
只有这两种情形，不相关与独立等价。第18章已经用过它们，这里给出理由：
除此之外一律不能反推。
四、
展开即知：
于是有一条极常用的判据：
“和与差不相关，当且仅当两者方差相等。” 这句话在本章至少出现四次，务必背下来。
五、
若
记法：
必考
880 第十九章基础选择 4
原题 设
解析 由模板第四条，
C 与 D 只差"哪个均值跟哪个二阶矩配对"
- C：
与 同侧——交叉配对，正确； - D：
与 同侧——同侧配对，等价于 ，这不是 。 移项的时候慢一秒：
，是对角相加。这是本题唯一的技术含量，也是失分主因。
A、B 为什么都不够
- A（
）：期望相等和方差相等毫无关系。取 ， 但 。 - B（
）：二阶原点矩相等，但如果均值不同，方差就不同。取 （ ）与 （ ），二阶矩相等而方差不等。 “二维正态”这个前提在本题里其实没用上——结论
对任何分布都成立。它的作用是让”不相关”和”独立”在这里恰好等价，方便出题人把问法换成”独立”。
880 第十九章综合选择 1
原题 设对任意两个随机变量
解析 条件
其余三项各错在哪：
-
A：不相关推不出独立。反例：
， ，则 ，但 完全由 决定。 -
B：也不对——独立的变量恰好满足这个条件。条件既不能推出独立，也不能推出不独立，它对独立性一无所知。A、B 同时错，正说明这个信息与独立性完全无关。
-
D：
一般不成立，即使独立也不成立。独立时正确的公式是 只有当
时才退化成 。
A 与 B 一起出现，往往两个都错
当选项里同时有”独立”和”不独立”时，多半是出题人在暗示：给定的条件对独立性给不出任何结论。 这时候直接去看剩下的选项，能省很多时间。
1000 基础第4章 13
原题 设随机变量
解析 由
C、D 为什么错：这个条件与独立性的关系是”必要非充分”——独立能推出它，它推不出独立。而 C、D 说的都是”充分”，方向正好反了。
分清"充分"与"必要"指向哪一边
题目问的是”
是 的什么条件”， 是前提， 是结论：
是 的充分条件 ； 是 的必要条件 。 这里
「 」， 「独立」。 成立、 不成立，所以 是独立的必要非充分条件——四个选项里根本没有这一项，故只能在 A、B 里选。
一句话总结本题与上一题
这两道题（880 综合选择 1 与本题）考的是同一条等价性，只是问法一正一反：
- 880 给"
"，问能推出什么 → 方差可加； - 1000 给”方差可加”，问它是什么条件 → 不相关的充要。
等价链上任意两点都可以互相出题。 把模板第一条那六条背熟，这一类题就是送分。
1000 基础第4章 16
原题 对于任意随机变量
解析 用极化恒等式（模板第一条）：
即
- A：不相关推不出独立（同上题）。
- B：
一般不成立。 - C：恰好说反了——得到的结论是”不相关”。
极化恒等式值得单独记
它和向量内积的极化恒等式
形式完全一致——这不是巧合： 把随机变量看成向量、 看成内积、 看成长度，那么
就是两个向量夹角的余弦（所以必在 内）； - 不相关就是正交；
就是勾股定理。 这套类比把本章的所有结论串成了一个整体，见 协方差与相关系数。
880 第十九章综合选择 5
原题 设随机变量
解析 第一步：算出两个方差，发现它们相等。
参数
- A：
✗ - B：
✓ - C：
✗ - D：
——恒成立！
选 B。
D 是本题最恶毒的选项：它永远为真
由模板第四条，
，而本题恰好 ，所以 D 对任何 都成立，跟 等于多少毫无关系。 一个恒真的条件当然不可能是" "的充分条件（它连 的情形都不排除）。 判断一个条件是否”恒成立”或”恒不成立”，是选择题里被严重低估的一招。 一旦发现某选项化简后不含任何未知量，它就出局了。
记住模板第五条的口诀
（同步） 差退化 用 ； （反向） 和退化 用 。 本题问 ，答案里必然出现 ——只有 B 和 D 含 ，而 D 恒成立，所以直接锁定 B。 这条路径十秒钟出答案。
链接
- 概念：不相关与独立 · 协方差与相关系数 · 随机变量的独立性
- 上一节：$\rho$ 的线性不变性与 $\lvert\rho\rvert=1$
- 下一节：不相关但不独立的反例谱
- 两个”不相关即独立”的例外：二维正态 · $2\times2$ 表
- 第18章的独立性判定（分布层面，不是矩层面）：独立性的判定与反例
- 易错：第19章易错点