第19章 随机变量的数字特征 易错点（52 条）
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标 ★ 的是本章头号失分点，考前只看 ★ 也够用。
全章可以压缩成两句话：期望永远线性，方差要看相关性； 只量直线，量不了别的。
一、期望的计算（1–9）
1. ★ 。 最常见的错法： 写成 、 写成 、 写成 。只有线性函数能穿进去。 用 Jensen 检查方向：凸函数 ，凹函数反之。
2. ★ 需要独立（或至少不相关）， 什么都不需要。 这条界线是全章主线。
3. LOTUS 用错版本。 求 时权重是 ，不是 的密度。写成 是双重计数。
4. 忘记检查期望是否存在。 柯西分布 、Lomax 、 的期望都不存在。但有界随机变量的期望永远存在——所以 对柯西有意义。
5. 级数换元后求和起点错。 （不是 ），。换元完立刻回头确认下标。
6. 泊松型级数忘了”升阶要配 ”。 ，那个 来自把 补成 。
7. 几何分布 忘了提 。 ，要先把 补成 才能用 。
8. 尾积分公式用在可正可负的变量上。 只对 成立。一般情形还要减去 。
9. 求出 之后就停笔。 有一类题问的是概率， 只是用来定区间端点的（、）。算完数字特征要回头看题目到底问什么。
二、方差与矩（10–18）
10. ★ 的前两项是加号。 。写成 可能得负数——方差为负立刻说明算错。独立时 ，方差永远不减。
11. ★ ，系数要平方。 ，不是 。。
12. 常数在期望里加，在方差里丢。 而 。慌乱中最容易写反的一条。
13. ，即使独立也不成立。 正确公式：
只有 时才退化成 。
14. 混合分布的方差不能按权重加。 ，还要加组间方差 。混合总是把方差撑大。
15. 元方差漏交叉项。 个变量有 对， 时是 3 对。常见错误是漏掉”隔了一个位置”的 。按 机械地列。
16. 的交叉项系数是 不是 。 里那个系数是 。漏掉 得到的答案往往”看上去也挺合理”，更危险。
17. 标准正态四阶矩记错。 （一般地 ），于是 。奇数阶矩全为 。
18. 的含义没用起来。 （退化为常数）。这是 与 取等号的条件，也是 推出线性关系的全部关节。
三、常见分布与参数（19–26）
19. ★ “参数为 的指数分布”要看清是率还是均值。 中文教材说”参数为 “通常指率（）；说”期望为 2 的指数分布”则 。读到就在草稿纸上写 。 弄反会让答案面目全非。
20. 的第二个参数是方差，但 里除的是标准差。 的标准差是 。写作 时括号里是标准差，方差是 。
21. 的均值是 。 标准形是 ，看到 要读成 。
22. 的方差是 ，长度要平方。 给 ，不是 。
23. 配正态时 ，不是 也不是 。 对 ：，。认对了要用常数 验一遍。
24. 反解二项参数时顺序反了。 先做除法 拿到 ，再回代 。
25. 几何分布的两种定义。 “试验次数”版 ，；“失败次数”版 ，。考研统一用第一种，但看到 从 起要警觉。
26. 忘了超几何的有限总体修正因子。 不放回时期望与二项相同（），方差要乘 。不放回压缩波动，不改变中心。
四、条件期望与全期望（27–32）
27. ★ 混淆 （随机变量）与 （数）。 塔性质 里外层的期望是对 取的。
28. ★ ""与""是两条路。 前者必须用条件密度（，不能用 ），后者用普通条件概率。第18章强调过，本章继续。
29. 分支定义时常数项漏乘概率。 里 的贡献是 ，不是 。
30. 忘记 的二阶矩是 。 不是 （那是 ）。 的二阶矩 。
31. 先求边缘再算期望，绕了远路。 塔性质 把二重积分降成一重。很多题里边缘密度（如 ）一次都用不上。
32. 应用题建模时把”固定支出”当成”按实际天数支出”。 若 关于参数单调、求不出最优值，多半是模型列错了——这本身就是一个自检信号。
五、协方差与相关系数的计算（33–40）
33. ★ 展开时漏掉一个交叉项。 里 出现两次（ 配 、 配 ），合并系数 。机械地展成 项再合并。
34. ★ 把 直接代进双线性展开。 不满足双线性，必须先换成 。
35. ★ 算出的 超出 。 立刻说明算错。每次算完 都看一眼范围，最便宜的自检。
36. 里的 、 没约干净。 是无量纲的，公因子必然消失。若答案里还剩着量纲因子，回头查交叉项。
37. 是无条件的。 两个交叉项自动抵消，不需要独立。推论：和与差不相关 。
38. 移项时”对角相加”弄错。 。 翻译成原点矩语言是
交叉配对，不是同侧配对。
39. 记错。 ，与 相等（漂亮的巧合）。由此 、。
40. 算成别的。 时 ——是 不是 。协方差不是乘法运算，不能把 提出来，必须回到定义。
六、不相关与独立（41–47）
41. ★★ 由”不相关”推”独立”。 本章第一号错误。 只有二维正态和 - 变量（ 表）两个例外。解答题里用这一步必须先论证是二维正态（如”它是二维正态的线性变换，故仍为二维正态”），这一句是采分点。
42. ★ 取值多于两个的离散型也不能反推。 取 、 取 时 却可以有 这种完全确定的关系。”- 变量”这个例外只对 表成立。
43. 忘了独立性的保持性。 （任意函数）。不相关没有这条性质——这是本章绝大多数选择题的钥匙。
44. 支撑集非矩形却去积分验证独立。 独立 支撑集必是矩形，逆否命题是最快的判独立工具：椭圆、圆盘、三角形、抛物线区域一律不独立，看一眼图就下结论。
45. 混淆”充分”与”必要”。 是 的充分条件 。 是不相关的充要条件、独立的必要非充分条件。
46. 用”两两独立”代替”相互独立”。 独立取 、 时三者两两独立但不相互独立。选择题专在这个字眼上设卡。
47. 忽略”设 与 相关”这类限定词。 它是在说 ，为的是让你能约掉它（否则答案会从""变成""）。限定词一个都不能跳。
七、次序统计量与绝对值（48–52）
48. ★ 只对零均值正态成立。 所以做题第一步永远是把中心挪到 。题目里的 、、 无一例外都是零均值——这不是巧合，是出题人在配合这个公式。若算出的 ，多半是系数或符号错了。
49. 求 时忘了 。 取绝对值不改变平方，所以唯一的新工作是求 ， 由 白送。
自检：对零均值变量恒有 ，算出的更大就是错了。
50. 指数分布对 封闭、对 不封闭。 策略是用 把所有 换掉，然后一路都是指数分布。三个变量时用容斥。
51. 平移指数分布时把 丢了或塞进分数。 中 时 ，不是 也不是 。 是位置参数，只搬家不缩放。
52. 对称性论证只保证”是一个解”，没保证唯一。 求” 与 不相关的 “时，对称中心一定是解；但解答题若问”求所有 “，必须把方程解完（本章那道三次方程的另两个根恰好落在区间外）。选择题走捷径，解答题走全程。
下一章易错：这 6 条会原样延续到第20章
第20章不引入新的数字特征，所以本清单里的这几条会换个外衣再考一遍：
- 第 1 条（） → 第20章的第一失分点就是它： 收敛到 ，不是 ，也不是 。
- 第 2 条（方差不可加需要不相关） → 切比雪夫不等式题的真正考点。题目给了 就一定要补 ，丢分丢在方差上的比丢在不等式上的多得多。
- 的平方 → 标准化时分子上的系数没平方，是第20章选择题的标准干扰项； 里的 也是同一条。
- （独立时相加不是相减） → 第20章 的构造里，写成 会让待定常数无解。
- “不相关”与”独立”的区别 → 第20章升级成”同期望同方差”与”同分布”的区别：中心极限定理的结论只用到 ，条件却要求整个分布相同。
- 柯西分布没有期望 → 本章两次作为”期望不存在”的反例，第20章它是大数定律与中心极限定理共同失效的样板。
见 第20章易错点（40 条）。
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