方差、标准差与矩

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核心问题

一个随机变量的取值有多”散”？

期望告诉你分布的中心在哪里，但两个期望相同的分布可能天差地别： 与 各半，期望都是 。方差量的就是”离中心有多远”。

核心定义 / 定理 / 结论

一、定义与计算式

右边是实际计算时永远用的那个。变形后更常用：

这是本章使用频率最高的一个式子——因为查表能查到 和 ，查不到 。

标准差 ，与 同量纲，所以它才是可以和 直接比较的”散布尺度”。

二、线性变换下的行为

三条读法：

• 平移不改变方差（ 消失）——方差是”相对于自己的中心”的度量；
• 系数要平方——，不是 ；
• 负号平方后消失——。

对应到标准差：（绝对值）。

三、和的方差

前两项永远是加号，只有交叉项跟着符号走。独立（或仅仅不相关）时交叉项为零：，一般的 元形式：

四、 的含义

这条是许多定理的关节：

• 的等号条件；
• 的等号条件（）；
• “和与差不相关”的推导。

五、矩

考研只用到 ，且几乎只用标准正态的矩：

是最常用的一条（用来算 ，即 的方差）。

六、混合分布的方差分解

若 （以概率 服从第 个分布），则

期望可以按权重直接加，方差不行——后一项恒非负，所以混合总是把方差撑大（除非所有 相同）。

这是全方差公式 的具体形态。

典型题型

1. 由 反解分布参数：二项分布相除消 ——见 认出分布与参数反解
2. 方差的定性比较：看密度图判断谁更散
3. ：用 砍掉一半工作量——见 绝对值的数字特征
4. 线性组合的方差： 的展开——见 双线性展开
5. 混合分布： 型

图示 / 直觉

方差量的是”概率质量离中心的平均平方距离”。

在同一个区间上比较几个对称密度，不用积分就能排序：

在 上这三个数分别是 ——值得记住的一把标尺。换到 时三个值同乘 （方差是二次齐次的）。

为什么用平方而不用绝对值： 也能度量散布（叫平均绝对偏差），但平方有两个决定性优势——可微（能求导找极值），且满足勾股定理式的可加性（独立时 ）。绝对值没有后者。

“方差 长度平方”的几何图像：把随机变量看成向量， 是长度、 是内积，则 就是勾股定理，不相关就是正交。见 协方差与相关系数。

常见误用

1. 的前两项是加号

，不是 。 独立时 ——方差永远不减。写成 可能得到负数，那立刻就是错的。

2. ，系数要平方

，不是 。

3. 混合分布的方差不能按权重加

，还要加上组间方差。

4. 标准差与方差混用

的分母是标准差的积，不是方差的积。 记号里第二个参数是方差，而 里除的是标准差。这是第17章带过来的老坑，本章继续踩。

与旧知识的连接

• 高数的转动惯量： 与绕重心轴的转动惯量同型， 对应”转动惯量与坐标原点无关”， 因子对应平行轴定理里的距离平方。
• 线代的二次型： 说明协方差矩阵半正定，见 协方差矩阵与半正定性。
• 第20章：切比雪夫不等式 把方差直接翻译成概率界，是大数定律的引擎。
• 第21章：样本方差 的分母是 而不是 ，根源是 ，本章 880 综合解答 2 已经算过。

题型训练

• 认出分布：配方、参数反解与方差比较（9 题）
• 绝对值的数字特征：对称化（6 题）
• 截断与混合型的期望（4 题）
• 协方差与相关系数的计算（6 题）

链接

• 数学期望与 LOTUS
• 常见分布数字特征表
• 协方差与相关系数
• 协方差矩阵与半正定性