矩估计与一阶矩失效

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方法模板

一、矩估计的三步（机械到没有思考余地）

有 个未知参数就列 个方程，从一阶矩开始往上取。

它为什么合法？ 因为辛钦大数定律保证 （第20章）， 所以”用 冒充 “在 大时误差趋于零。矩估计的全部理论依据只有这一句话。

二、一阶矩失效：本节的真正主题

矩估计有一个致命前提： 必须真的含有 。三种情形会让它失效：

注意第二步用的是 （原点矩），不是 。 这是本节最高频的失分点—— ，只有在 时它才等于 。

三、判断”该不该上二阶矩”的一秒判据

典型：（拉普拉斯）、、取值 的对称分布。 这些分布的 都是尺度参数，只影响”胖瘦”不影响”位置”，一阶矩当然看不见它。

四、多参数时的写法

两个未知参数时，标准组合是

第二式用”总体方差 样本二阶中心矩”比用原点矩少算一步，但注意样本二阶中心矩的分母是 不是 。

必考

880 第二十二章 基础解答 2

原题 设总体 的概率密度为 （）， 为总体 的简单随机样本，求 的矩估计量。

解析 先把这个陌生密度认出来。令 ，由 知 ，而 ：

（顺带验证归一性： ✓，这也解释了密度前那个负号——它保证 。）

① 。

②③ 令 ：

合理性检查： ✓ 落在参数空间内。

换元认分布是这类题的第一步

直接对 积分求 也做得出来（分部积分），但把它认成指数分布后 是现成的。 凡是密度里出现 的，一律写成 。

880 第二十二章 基础解答 4

原题 设 是来自总体 的简单随机样本， 的概率密度为 ，，。 求参数 的矩估计量 及 。

解析 密度关于 偶对称 → 一阶矩必然为零：

一阶矩里没有 ，方程 无解 → 上二阶矩。

（用了 ，即指数分布的 ，见 常见连续型分布。）

令 ：

再求 —— 注意问的是 不是 ，恰好把根号消掉：

命题人为什么问 而不是

因为 算不出来（根号与期望不可交换）。 而 恰好说明： 是 的无偏估计，但 不是 的无偏估计。 由詹森不等式 ， 系统性地偏小。 这与” 无偏但 有偏”是同一件事（见 无偏性）。

1000 基础篇 第6章 12

原题 设 是取自总体 的简单随机样本， 的概率密度为 ，，。 求：(1) 的矩估计量；(2) 的最大似然估计量。

解析 密度与 880 第二十二章基础解答 4 完全相同（只换了参数名）。

(1) 矩估计 同上： → 上二阶矩 ：

(2) 最大似然估计

两个估计量不一样： 用平方， 用绝对值。

谁更好？ （用上一节的积分），故 无偏；而 有偏。 最大似然在这道题上完胜。

两本题册在同一个密度上撞题，问法互补

880 问「矩估计 」，1000 问「矩估计 最大似然」。 合起来才是这个分布的完整处理。拉普拉斯分布（双边指数）是数一里出现频率最高的”非标准分布”， 它的三个数字务必记牢：

1000 强化篇 第9章 8

原题 设总体 服从区间 （）上的均匀分布， 为来自总体 的简单随机样本，求参数 的矩估计量和最大似然估计量。

解析 又是一个对称分布， 与 无关。

矩估计：。令 ：

最大似然估计：

关于 严格递减，所以 要取允许范围内最小的值。 约束 对所有 成立 ，故

求导法在这里完全失效

恒成立，永远解不出驻点。 似然函数单调 → 答案在边界上 → 由样本约束确定边界。 这是 边界型 MLE 的标准反应， 但本题因为”一阶矩失效”这个更突出的特征被放在这一节。

注意 不等于 ——样本里可能出现绝对值很大的负数。

1000 强化篇 第9章 18

原题 设总体 的分布函数 是来自总体 的简单随机样本。 (1) 求 的矩估计量 ，并验证其是否有无偏性、一致性； (2) 若 个样本中有 个观测值为 ， 个观测值为 ，求 的最大似然估计值 。

解析 第一步永远是把分布函数还原成分布律——跳跃高度就是概率：

（三者之和 ✓；且需 才使概率非负。）

(1) 算一阶矩：

上二阶矩：

令 ：

无偏性： ✓ 无偏。

一致性（相合性）：由辛钦大数定律 ，再由连续映射定理

(2) 三类观测值的个数： 个 、 个 、 个 。

两个惊喜

1. 在最终答案里消失了。 因为 与 都正比于 ， 它们在似然里合并成 ，只有”是不是 “这一件事携带 的信息。
2. 是刻意设计的。 分布律里 与 的搭配恰好让 在一阶矩中抵消。 看到一阶矩算出常数，不要以为自己算错——这就是题目要考的。

880 第二十二章 基础解答 18

原题 设 是连续型随机变量，，，其中 ，。令

（Ⅰ）求 的概率分布及 的概率分布； （Ⅱ）若 为未知参数，利用总体 的样本值 ，求 的矩估计值与最大似然估计值。

解析 与 都由同一个 决定，所以它们高度相关——这是本题的骨架。

（Ⅰ） 把实轴按 切成三段，逐段读出 的值：

落在	概率

（中间一段的概率：， 这正是题设 的作用——保证它非负。）

的概率为 ：它要求 且 ，而 ，不可能同时成立。

（Ⅱ）矩估计。 的分布关于 对称：

样本二阶原点矩（，样本值 ）：令 ：

最大似然。 数个数： 出现 次， 出现 次， 出现 次：

两个估计值都是 （且落在 内 ✓）。

两处值得记住的细节

1. 里的 是 ，不是 个 。 与 都等于 ， 所以取值 与 的样本合并贡献 ，而取值 的三个样本贡献 。 这与 计数似然 里”最大似然自动合并同参数的类别”是同一件事。

2. 矩估计只需要看 ，连 的联合分布都不用。 第（Ⅰ）问的联合分布表是为了让你确信 只取 且概率是 ——一旦有了 的分布律，、、 全都可以忘掉。

这道题把”对称分布 → 一阶矩失效 → 上二阶矩”演示得最干净：

拓展

1000 强化篇 第9章 1

原题 设 是来自总体 的简单随机样本，总体 的概率分布为 ，，其中 （）是未知参数， （），则 的矩估计量为（　） (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 这个分布叫对数级数分布（超出考纲，但求矩的技巧是考纲内的）。记 。

一阶矩（ 与分母的 约掉，剩几何级数）：

二阶矩（约掉一个 后剩 ）：

（用了 ，见 常见离散型分布。）

关键一步：作比，让恼人的 自动消掉：

用样本矩替换：。选 B。

遇到含 的常数因子，一律考虑作比

里的 反解不出来（超越方程）。 但 把 消掉后变成 ，一步反解。

选项里的 也能给出 的表达式吗？，比值不再是简洁的 ，故 C、D 出局。 而 A、B 的差别只是符号：由 知 必须落在 内，而 （因 ，取值都 ），故 合法而 不合法。不算矩也能选出 B。

链接

• 概念：矩估计 · 期望与 LOTUS · 方差与矩
• 理论依据：大数定律（矩估计的合法性）· 相合性
• 常用分布的矩：常见连续型分布 · 常见离散型分布 · 分布数字特征速查表
• 上一节：半正态与绝对偏差统计量
• 下一节：最大似然的标准流程
• 相关：边界型最大似然（本节 s9-8 的 MLE 部分属于那一类）
• 题库：数理统计题库 · 易错：易错清单