考研笔记

常见离散型分布

🏠 第17章概念导航

核心问题

第16章数了一堆”恰好 次”的组合数，本章给它们起名字、配参数。起名之后的好处是：期望方差不用再算（第19章直接查表）、可加性可以直接用、极限关系（二项 → 泊松 → 正态）串成一条线。

每个离散分布都对应一个数什么的问题

核心定义 / 定理 / 结论

五个分布的总表

分布记号分布律数什么
0–1一次试验成不成
二项 次里成几次
泊松单位时间内发生几次
几何首次成功要试几次
超几何不放回抽 个中几个次品——

（。期望方差在第19章推，这里备查。）

几何分布的参数约定是成功概率，不是

归一性：定常数的唯一工具

三个必用的级数：

注意 ，不是 1——这是”由 定 “型题的关键。

相邻两项的比值（泊松与二项的万能工具）

泊松：二项：

两条推论：

（泊松） 最可能值：泊松；二项

（参数恰为整数时有两个并列最大值，都要写。）

注意最可能值不是期望的四舍五入： 的 而 。

奇偶概率：取半和

偶奇
分布母函数 奇数项之和
二项
泊松

泊松的偶数概率恒大于奇数（因 ），因为 0 也算偶数。

几何分布的两条

（生存函数，比分布律好用）

“首次成功在偶数次”恒小于 ——奇数位置占了先手。配套：奇数版是 。

可加性（再生性）

泊松：无条件二项：要求同

均匀、指数、几何都不可加。 判据（第18章正式讲）：母函数相乘之后还是不是同族的形式。

合并结果 vs 追加试验

一次试验有多种互斥结果时，把其中若干种合并成”成功”：

合并结果改的是；追加试验改的才是

注意此时 与 不独立（），所以不能用可加性来论证。

参数单调性（随机序）

越大，越低，随机变量随机地越大

“分布函数低”对应”随机变量大”，这个反向关系最容易记反。同族结论对 关于 、 关于 都成立。

极限关系

泊松是”大量试验、小概率”的极限（稀有事件定律，第20章）；正态是”大量试验、中等概率”的极限（棣莫弗—拉普拉斯）。

典型题型

  1. 由归一性定常数（注意 ）
  2. 由 定 （比值法一秒）
  3. 最可能值（，不是 ）
  4. 奇偶概率（取半和）
  5. 合并结果（改 不改 ）
  6. 由分布律写分布函数（阶梯，四种区间要分清）
  7. 参数大小与分布函数的关系

图示 / 直觉

把 次试验画成一行 个格子，每格填”成”或”败”：

组合数的上标可自由安排的格子数
分布锁死了什么组合数
二项什么都不锁
帕斯卡最后一格必须”成”
几何前 格全”败”、最后一格”成”无

一句话解释三个公式，也一眼看出 （6 次里恰 2 次成）与 （第 6 次恰好第 2 次成）差在哪。

二项分布的形状： 随 先升后降，峰在 。 越大越对称、越像钟形——这就是中心极限定理的图像来源。

泊松的形状： 小时严重右偏（0 独占鳌头）， 大时趋于对称。

常见误用

1. 帕斯卡型组合数上标写成

“第 次恰好第 次成功”是 。写成 会差好几倍。

2. 成功率各异却套二项公式

的前提是各次 相同。三次射击命中率 0.4、0.5、0.7 时”恰好一次”必须逐项相加。

3. 最可能值用期望四舍五入

正确判据是 （泊松是 ）。

4. 几何分布的参数记成

的 是成功概率。自查： 应大于 1 且不太大。

5. 合并结果时把 也加倍

数的是同一批 次试验， 不变。而且 不独立，可加性不适用。

6. 二项可加性忘了” 必须相同”

在 时不是二项分布。

7. 由”参数大”推出”每次都大”

分布层面的性质推不出样本层面的大小关系。 同类错误在第19章还会出现（ 推不出 ）。

8. 泊松分布律里 前后不一致

标准形状是 ——分子的 与指数上的 必须同一个数。题面写 时，实际的 要由归一性定，未必是 2。

9. 离散型直接用 算闭区间概率

，左端要用左极限。

与旧知识的连接

高数：

  • 二项式定理 就是二项分布的归一性；
  • 是指数函数的泰勒级数；
  • 几何分布的归一性 是等比级数求和；
  • 裂项相消 在 1000 强化 2-1 的 ② 里定生存函数。

第16章：

  • 伯努利概型 → 二项分布，古典概型的不放回抽样 → 超几何分布；
  • “取半和”抽奇偶项在第16章（伯努利）与第17章（泊松）各考了一次；
  • 最可能值公式 在两章各考一次。

见 伯努利概型与二项模型。

后续章节：

  • 第18章：多项分布（本页”合并结果”的一般形式），其每个边缘都是二项；
  • 第19章： 的推导，母函数求矩；
  • 第20章：泊松逼近（稀有事件）与正态逼近（棣莫弗—拉普拉斯）；
  • 第22章：二项与泊松的参数估计。

题型训练

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