考研笔记

伯努利概型与重复独立试验

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方法模板

一、独立试验的三句口诀

全不发生：至少一个：全发生： 至少一个与不全发生都要走补事件

两者的补不一样，这是最容易串的一对：

中文补事件概率
至少一个发生全不发生
不全发生全发生
至少一个不发生全发生（同上）
全不发生至少一个发生

“不全发生”=“至少一个不发生”，这两句是同义词；它们与”全不发生”只差一个字，含义天差地别。

二、 重伯努利：三种问法

试验 次，每次成功率 ，：

问法分布概率
恰好 次成功二项
第 次成功恰好发生在第 次帕斯卡（负二项）
首次成功在第 次几何

帕斯卡型的写法要点：把”最后一次必须成功”单独拎出来，前 次里安排 次成功：

前次第次

组合数上标只到 ，别写成 ——这是本题型唯一的高频错处。

三、“成功 次之前失败 次”的翻译

第次成功之前恰好失败次第次成功发生在第次试验

代入帕斯卡公式（令 ）：

四、二项分布的最可能值

，使 最大的 ：

与两个

推导（比背公式可靠）：看相邻两项的比

令它 解得 。所以概率先升后降，转折点在 。

五、“发生奇数次”的母函数技巧

奇 偶

来源：把 与 分别代入 ，两式相减，偶次项抵消、奇次项翻倍。

这是”取半和”的标准手法，第17、19章处理特征函数、母函数时还会见到同样的操作。

必考

880 第十六章基础解答 2

原题

设 为 个相互独立的事件，且 ，求下列事件的概率：

(Ⅰ) 个事件全不发生；(Ⅱ) 个事件不全发生；(Ⅲ) 个事件中至少有一个发生.

解析

三问就是模板表的三行，关键是把中文准确翻译成集合。

(Ⅰ) 全不发生：，独立性传给逆事件，故，(Ⅱ) 不全发生 = “至少有一个不发生”，它的补是”全发生”：，(Ⅲ) 至少一个发生，补是”全不发生”，即 (Ⅰ)：

(Ⅰ) 与 (Ⅱ) 不是互补的，(Ⅰ) 与 (Ⅲ) 才是

三个事件的关系：

与前两者都无直接互补关系

一个具体检查（，）：，，。这里 纯属对称巧合；取 就分开了：，，。

“不全”读作”不是全部”，重音在”全”上；“全不”重音在”不”上。

880 第十六章基础解答 3

原题

对某一目标依次进行了三次独立的射击，设第一、第二、第三次射击命中的概率分别为 0.4、0.5 和 0.7，求：

(Ⅰ) 三次射击中恰好有一次命中的概率；(Ⅱ) 三次射击中至少有一次命中的概率.

解析

三次命中率互不相同，不能用二项公式，只能逐项枚举。记 ，。

(Ⅰ) 恰好一次：三种互斥情形相加，每种是”一个 乘两个 ”：

(Ⅱ) 至少一次：走补事件

概率不同就别硬套

二项公式 成立的前提是三次的 相同；此时三种排法概率相等，才能用组合数一次算完。

本题三个 不同， 这个”乘 3”就没有依据。正确做法是把三项分别写出再相加——它们分别是 ，差着 3 倍多。

通用形式（ 次独立、成功率各异，恰好一次成功）：

本题验算：，，乘得 。

880 第十六章基础填空 6

原题

某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 ，则此人第 6 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 ____.

解析

“第 6 次射击恰好第 2 次命中”拆成两件独立的事：

  1. 前 5 次里恰好命中 1 次：；
  2. 第 6 次命中：。

相乘：

不要写成

算的是”6 次里恰好命中 2 次”，它不要求第 6 次一定命中。两者相差一个因子：

判别方法：题面说”第 次恰好第 次成功”，就把第 次锁死，组合数只在前 次里挑。

一个直观解释： 种排法里，第 6 次命中的只有 种（另一次命中在前 5 次的任一位置），恰好三分之一。

880 第十六章综合填空 4

原题

设进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为 ，则在试验成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为 ____.

解析

翻译：“第 2 次成功之前恰好失败 3 次”意味着第 2 次成功恰好落在第 5 次试验：前 4 次里 1 成功 3 失败，第 5 次成功。

前次第次

与上一题是同一个公式的两种问法

题问法答案
880 基础填空 6第 6 次恰好第 2 次命中24
880 综合填空 4成功 2 次之前失败 3 次23

统一公式（第 次成功前恰好失败 次）：

一个按”总次数”报，一个按”失败次数”报，公式只差一次换元 。 两本书凑成一对，做完就不会再混。

880 第十六章综合选择 1

原题

设某人毫无准备地参加一项测验，其中有 5 道是非题，他随机地选择”是”或”非”，则该人至少答对 1 题的概率为（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

每题独立，答对概率 。“至少一题对”的补是”全错”：

三个错项各对应一种典型错法

  • B ：算成”全对”（或者算了补事件却忘了用 1 减）；
  • C ：算成”恰好答对 1 题”；
  • A ：把”5 道题”直接倒过来当概率，纯凑数。

“至少”两个字一出现，先写 。 这是本章最便宜的分。

拓展

880 第十六章综合填空 6

原题

在 重伯努利试验中，事件 发生的概率为 ，则事件 发生奇数次的概率为 ____.

解析

记 ，要求的是奇奇，技巧：把 和 分别代进二项式，两式相减。

偶奇 偶奇

两式相减除以 2：

奇

三个自查点，确认公式没记反

  1. ：，得 奇。对称，合理。
  2. ：。奇数次就是”发生 1 次”，正是 。
  3. ：，奇。稀有事件下”发生奇数次”几乎就是”发生 1 次”，概率 。

偶数次的版本把减号换成加号：偶。注意它在 时趋于 1（几乎必然发生 0 次），符合直觉。

"取半和"这一招还会再见

从一个母函数 里抽出奇数项，通用做法就是 ；抽偶数项是 。

本题的 正是二项分布的概率母函数。第19章用母函数求矩、第17章处理”取模同余”型分布时，同一招会原样出现。

880 第十六章综合解答 2

原题

设一批产品中有 的次品，进行独立重复抽样检验，若抽取 20 个样品，则抽出的 20 个样品中，可能性最大的次品数是多少？并求其概率.

解析

设次品数为 ，则 ：，求最可能值：看相邻两项的比。

令该比 ：

所以 在 时递增、 时递减，最大值在 。

（与公式一致： 不是整数，。）

求概率：

最可能的次品数为个，概率

最可能值不是期望的四舍五入

这里 ，恰好也等于 ，容易让人误以为”最可能值 = 期望取整”。

反例：，。，而 ，——若按期望四舍五入会得到 3，错。

正确的关系是

即 与 相差不超过 1，但不一定是最近的整数。考场上老老实实用 。

恰为整数时有两个并列最大值

例如 ，： 是整数，则 同时最大。

判据来自上面的比值： 恰在 处取到。答题时这种情形必须两个都写出来。

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