考研笔记

古典概型与几何概型

🏠 第16章概念导航 · 随机事件题库

方法模板

一、两个概型的共同点：先把”等可能”钉死

古典：几何：长度面积体积

做题的第一句话永远是”什么东西等可能”。 同一个物理过程，选不同的等可能对象会得到不同的答案（贝特朗悖论），所以必须先说清楚。

二、古典概型的三条纪律

  1. 分子分母的计数方式必须一致——要么都有序，要么都无序，不能混；
  2. “任取两个”默认无序，用 ；“依次取出”是有序，用 。两条路答案相同，别中途换车；
  3. 不放回抽样可以直接看成一个随机排列，问”第 次如何”就是问”排列的第 位如何”。

三、随机排列视角（不放回抽样的万能工具）

件物品全部排成一列，所有 种排列等可能。于是：

问题转化
第 次取到某类品第 位是该类品
恰好第 次取完 3 个次品3 个次品中最后一个排在第 位
前 次里有 个次品前 位含 个次品

“最后一个次品在第 位”的概率（ 件里有 个次品）：

（在 位之前的 个位置里放另外 个次品，第 位放最后一个。）

四、几何概型的两个常见舞台

(1) 单位正方形内的曲线分割：在 里取点，求 的概率，就是算区域面积——必要时用积分。

(2) 折棒 / 分割型：把 随机断成三段，标准模型是在棒上独立均匀取两点。此时三段长度 在单纯形 上均匀分布，三段是可交换的。

三段长度可交换每一段是最长者的概率都是

五、有放回取数与

从 有放回取 次，：

永远先算""（或""），再作差得""。 直接数”恰好等于”要分类讨论，容易漏。

对应地 用 。

必考

880 第十六章基础填空 5

原题

在区间 内任取两个数 ，则 的概率为 ____.

解析

样本空间是单位正方形 ，面积 1。目标区域，算补集更省事。 记 ，补集是双曲线上方的区域，双曲线 与正方形边界的交点： 时 ； 时 。所以 在 上，纵向从 到 1：

于是，代入 （注意 ）：，数值：，

精确值

直接积分也行，但要拆成两块

若不走补集， 要分段： 时整条竖线都满足（长度 1）， 时只到 ：

结果相同，但必须记得前一块——漏掉 那条带子是本题的头号错法（会得到 ）。

判断标准： 很小时 必然很小，条件自动满足，所以左边一定有一整条带子。

这里的 是被积函数带出来的，不是凑的

几何概型一旦出现 、 这类乘除型约束，边界就是双曲线，面积必然含对数。

相比之下 是直线，面积是三角形，答案是有理数。看约束式的形状就能预判答案里有没有 。

1000 基础第1章 10

原题

从数 1,2,3,4 中有放回地取两次，每次取一个数，得到的两个数为 ，记 ，则 ____.

解析

走” 再作差”的标准路线。

另解（直接数样本点）

有放回取两次，共 个等可能有序对。 要求两个数都 且至少一个 ：

共个

" "是连乘，""要作差

独立时直接相乘

而 是”都 且不都 “，本身就是两个 事件的差集。不要试图直接对 建模。

这条路子和 1000 强化 1-6 的 翻译是同一件事，也是第17章求次序统计量分布的固定套路：

1000 基础第1章 4

原题

一平面质点从原点出发，每次走一个单位，只有向上、向右两种走法，且向上走的概率为 ，现质点走到了点 ，则这 5 步按照：右，上，右，上，右的方式走的概率为（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

“现质点走到了 “是一个条件，所以要求的是条件概率。

记 走到 ，即 5 步中恰有 3 步向右、2 步向上；具体路径为 右上右上右。显然 。

分子（一条指定路径，3 次右、2 次上）：，分母（所有到达 的路径，共 条，每条概率都是 ）：

全消掉了——这不是巧合，是本题真正的考点

所有到达 的路径都用了 3 次右、2 次上，因此概率完全相同，都是 。

给定”总共上了几次”之后，各种排列顺序变成等可能的。 于是条件概率退化成纯古典概型：

这条性质有个正式名字：二项分布的充分统计量是成功次数。给定成功次数后，具体是哪几次成功的信息与 无关。第22章讲充分统计量时会正式提到它；这里是它的第一次露面。

考场判据：看到”给定终点/给定成功次数，求某条具体路径”，直接写 路径总数。

拓展

880 第十六章综合选择 2

原题

有一根长为 的木棒，将其任意折成三段，记事件 中间一段为三段中的最长者，则 .

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

模型：“任意折成三段”的标准含义是：在棒上独立均匀地取两个断点 ，从而三段长度为，其中”中间一段”就是 。

对称性一击：两个均匀点把区间分成的三段长度 是可交换的随机向量——它们的联合分布在单纯形 上均匀，对三个分量完全对称。

因此”第 段是最长者”这三个事件概率相等；又（以概率 1）不会出现并列最长，三者互斥且并为必然事件：

另解（直接算面积，验证对称性不是错觉）

设 ，样本空间取 （面积 ），三段为 、、。“中间段最长”要求

且且

两条直线交于 。目标区域是以 、、 为顶点的三角形：

面积底从到高

——这里得到 ，是因为样本空间限定了 ，只覆盖了”第一个断点在左”的一半情形。三段与位置的对应在两半里不同，把 的另一半（同样贡献 ，此时”中间段”为 ）算进来：

别把这道题和"能构成三角形"那道混了

两道题模型相同、问法不同，答案也不同：

问题条件答案
中间一段最长（本题）
三段能构成三角形每段都

选项 C 就是”构成三角形”的答案，摆在那里等着张冠李戴。

顺带记住”构成三角形”的推法：反面是”某一段 “，三种情形互斥、每种概率 ，故 。

可交换性是几何概型里最省力的武器

只要能说清”这几个量在联合分布上完全对称”，一切”谁最大 / 谁最小 / 谁排第几”的概率就都是 级别的简单分数，一行算完。

同类应用： 个独立同分布连续随机变量中” 最大”的概率是 ； 个人随机排队”甲在乙前面”的概率是 。第21章次序统计量整章都建立在这条上。

880 第十六章综合填空 5

原题

已知 10 部手机中有 7 个合格品和 3 个次品，每次任取一个作测试，测试后不放回，直到将 3 个次品都找到为止，则需要测试 7 次的概率为 ____.

解析

把 10 部手机的测试顺序看成一个随机排列， 种等可能。

“直到把 3 个次品都找到”有两种结束方式：

  • 方式一（测出最后一个次品）：第 7 次测出第 3 个次品；
  • 方式二（淘汰法）：前 7 次把 7 个合格品全部测完，剩下的 3 个不必再测，也已经确定是次品。

方式一：3 个次品的位置在 种等可能选法中，要求最大位置恰为 7，即另外 2 个次品落在前 6 个位置：，方式二：7 个合格品恰好占满前 7 个位置：，两种方式互斥（方式一里第 7 位是次品，方式二里第 7 位是合格品），相加：

本题读法有分歧，两个答案都要知道

读法含义答案
严格：必须亲手测出每个次品只有方式一
淘汰：合格品测完即等于找到全部次品方式一 + 方式二

我按淘汰读法给主答案，理由是命题人把数字设成”7 个合格品、测 7 次”——这恰好是方式二唯一能发生的临界点。若只想考方式一，把”7 次”换成 5 次或 6 次就完全没有歧义了；特意卡在 7，看起来是有意为之。

考场策略：把两块都写出来并注明理由，比只写一个数安全。若答案要求单值且与 对不上，就知道是这个岔口。

另解（方式一用”逐次相乘”验算）

前 6 次恰好测出 2 个次品，第 7 次测出第 3 个：

前次含次品余下部中第次抽到那个次品

随机排列视角比"逐次抽取"快一个数量级

凡是不放回抽样问”第 次""到第 次为止”，都先把全部物品排成一列，再问位置。

通用公式（ 件中 个次品，最后一个次品恰在第 位）：

本题 ：。一步到位，不用画树。

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