考研笔记

古典概型与几何概型

🏠 第16章概念导航

核心问题

概率公理只说”概率满足哪些性质”，不说”具体等于多少”。要真正算出一个数，必须先假定某种东西等可能。

古典：有限个样本点等可能几何：无限但均匀，用测度代替计数 做题第一句话永远是：什么东西等可能？

同一个物理过程，选不同的等可能对象会得到不同答案（贝特朗悖论），所以这句话不是形式主义。

核心定义 / 定理 / 结论

古典概型

有限，各样本点等可能：，三条纪律：

  1. 分子分母计数方式一致——要么都有序，要么都无序；
  2. “任取两个”默认无序用 ，“依次取出”有序用 ，中途不换车；
  3. 不放回抽样可直接看成随机排列。

随机排列视角（不放回抽样的万能工具）

件物品全排列， 种等可能。于是：

问题转化
第 次取到某类品第 位是该类品
前 次里有 个次品前 位含 个次品
最后一个次品恰在第 次 个次品的最大位置

核心公式（ 件中 个次品，最后一个次品恰在第 位）：

抽签原理（随机排列的直接推论）：不放回抽取时，每一次抽到某类品的概率都相同，与次序无关。

第次是次品

几何概型

长度面积体积

两个常见舞台：

(1) 单位正方形内的曲线分割。 内求 的概率就是算面积。

  • 约束是 （直线）→ 三角形，答案是有理数；
  • 约束是 、（双曲线）→ 面积含对数。

看约束式的形状就能预判答案里有没有 。

(2) 折棒 / 分割型。把 随机断成三段，标准模型是独立均匀取两个断点。三段长度 在单纯形上均匀分布，关于三个分量完全对称（可交换）。

三段可交换每段是最长者的概率都是

对比：“三段能构成三角形”的概率是 （反面是”某段 “，三种互斥、各 ）。两道题模型相同、答案不同，别混。

有放回取数与

从 有放回取 次：

先算或，再作差得

直接对”恰好等于”建模要分类讨论，容易漏。

可交换性：几何概型里最省力的武器

若 个量的联合分布对置换完全对称，则一切”谁最大 / 谁排第几”的概率都是简单分数：

  • 个 i.i.d. 连续随机变量中” 最大”的概率是 ；
  • 个人随机排队”甲在乙前”的概率是 ；
  • 两个均匀断点分出的三段，“中间段最长”的概率是 。

一行算完，不用积分。

典型题型

  1. 单位正方形内的面积计算（乘积型约束 → 对数）
  2. 折棒 / 分割（对称性一击）
  3. 不放回抽样”恰好第 次”（随机排列 + 组合数）
  4. 有放回取数的 （先 再作差）
  5. 给定终点求某条路径（条件概率退化成古典概型）

图示 / 直觉

古典概型 = 数格子。把所有等可能结果摆成一张表或一棵树，目标事件占几格就是几分之几。

几何概型 = 量面积。样本空间是一块区域，事件是其中一片，比值就是概率。

两者的统一：都是”目标 ÷ 全体”，只是”大小”的度量从计数换成了测度。这也解释了为什么古典概型里的条件概率就是”换一个更小的分母”——，母体从 缩到 。见 1000 强化 1-1 的另解。

“给定成功次数后各排列等可能”：到达 的每条格点路径都用了 3 次右、2 次上，概率同为 ，于是 在条件概率里完全消掉：指定路径到达，参数消失是”充分统计量”的第一次露面（第22章正式命名）。

常见误用

1. 分子有序、分母无序（或反过来）

最常见的整题崩。先决定用哪种计数，然后从头到尾不换。

2. 把多个盒子的球倒进一个大袋子

“先等概率选盒、再从盒中取球”时，各盒球数不同则单个球被取中的概率不同。见 全概率公式与贝叶斯公式 的常见误用第 1 条。

3. 几何概型漏掉”自动满足”的那一块

求 的面积时， 那条竖带整条都满足，不能只积双曲线下方那块。

判据：把变量推到极端（），看约束是否自动成立。

4. 把”中间段最长”与”能构成三角形”搞混

（最长者）（构成三角形）

命题人常把另一个答案摆进选项。

5. 直接对 建模

先算 再作差。直接数”恰好”要分”哪几个取到 ”， 大时必错。

6. 不放回却套二项公式

不放回时各次不独立、 也在变。要么走古典概型（组合数），要么用超几何分布。“测试后不放回”这五个字一出现，立刻放弃 。

与旧知识的连接

高数：几何概型的面积就是二重积分（见 高数第14章 二重积分）；一维情形是定积分。 的面积里出现 ，正是 的贡献。

组合数学：古典概型的分子分母都是计数问题，排列组合、插板法、容斥筛法在这里全部复用。

后续章节：

  • 第17章 均匀分布：几何概型的随机变量版，；
  • 第18章 二维均匀分布： 在区域 上均匀 几何概型；条件分布就是”截一刀再归一化”；
  • 第21章 次序统计量：本页的可交换性是整章的基石；
  • 第22章 充分统计量：格点路径题里” 消掉”的现象。

题型训练

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