常见连续型分布

🏠 第17章概念导航

核心问题

考研直接考的连续型分布只有三个：均匀、指数、正态。但题目里还会以”变换的结果”出现另外几个（反正弦、柯西、威布尔、帕累托），认不出来就只能硬算。本页把它们的密度、分布函数、来历一次列全。

核心定义 / 定理 / 结论

三个主角

分布	密度	分布函数	支撑

期望方差（第19章推）： 是 、； 是 、； 是 、。

指数分布：只记生存函数

指数分布的题几乎不用积分——一律换成 ，乘除立刻化简。无记忆性、条件概率、最值分布全靠它。

正态分布：三条速查

由形状反求参数：最大值点 → ；最大值 → 。

准则（与 无关）：

1	0.6827
2	0.9545
3	0.9973

密度的取值范围（判” 能否取到某值”用）

分布	密度值域	特点
		连续扫过
		连续扫过
	只有 与	两个孤立值

四个配角（都以”变换的结果”出现）

反正弦分布（）

密度在两端发散（密度可以无界）。来历：单位圆上均匀取点，横坐标就服从它；也是简谐振动 的位置分布——两端速度最慢，逗留最久。

柯西分布，来历： 服从柯西。没有期望（ 发散），第19章的标准反例。

威布尔分布

退化为指数。 故障率递增（老化）， 递减（早期失效）——合起来是可靠性里的浴盆曲线。

帕累托型（幂律尾），尺度无记忆： 与 无关。由 或 生成。

变换字典（认出来就不用算）

	变换
柯西
		反正弦（）
任意连续型
任意连续型

可加性

是三角分布；（爱尔朗），密度 在 0 处为 0，与指数（在 0 处取最大值 ）形状完全不同。

典型题型

1. 由密度形状反求正态参数
2. 指数分布的条件概率（无记忆性）
3. 正态概率比较（只比 ）
4. 认出变换后的分布（先看支撑集，往往能秒杀选择题）
5. 由分段 定常数（反正弦分布是标准样本）
6. 区间概率最大化（）

图示 / 直觉

三个主角的形状：

• 均匀：一个矩形。唯一”没有偏好”的分布，等价于几何概型；
• 指数：从 单调衰减到 0。永远最偏好小值， 的最大值在 ；
• 正态：钟形。 管平移， 管胖瘦。

为什么正态的 同时管高和宽：密度总面积恒为 1，变宽必然变矮。所以，这也解释了 为什么与 无关——区间随分布同步伸缩，两个效应恰好抵消。

指数分布为什么无记忆： 是唯一满足 的连续函数，而这个函数方程正是”条件概率与起点无关”的数学写法。见 无记忆性与寿命分布。

常见误用

1. 的标准差当成 4

记号约定是 ，第二个位置永远是方差。 的 。本章头号失分点。

2. 反求参数时漏一次平方

由 得 ，但填进 的是 。

3. 以为密度必须有界或不超过 1

反正弦密度在端点发散； 的密度是 2。密度不是概率。

4. 把 当成通用性质

只有 时才对。一般是 。

5. 认为均匀或指数可加

两者都不可加，这是最常被误认的一对。

6. 概率积分变换用错了

要求 是 自己的分布函数。用别人的 （例如把 的 作用在指数变量上）会得到混合型，不是均匀分布。

7. 指数分布题去积分

一律用 。积分只会增加出错机会。

8. 混合指数还用无记忆性

不再无记忆。每一支单独无记忆，混合后整体有记忆——原因是条件里藏着一次贝叶斯更新。

与旧知识的连接

高数：

• （泊松积分）是正态密度归一化的来源；
• 反正弦分布的 用到 ；柯西用到 ——都是第三章的基本积分表；
• 分部积分求 ；
• 变换求密度用反函数求导与复合求导。

第16章：几何概型就是均匀分布的事件版；泊松流的间隔是指数分布。

线性代数：正态密度指数上是二次型，多维时 ，等高面是椭球，其主轴由 的正交对角化给出。见 线代第15章 二次型。

后续章节：

• 第18章：二维均匀（几何概型）、二维正态、卷积公式；
• 第19章：各分布的期望方差、柯西无期望的反例；
• 第20章： 准则、中心极限定理；
• 第21章：、、 三大抽样分布都由正态构造， 是第一块砖。

题型训练

• 正态分布的标准化与比较（12 题）——本章最大题型
• 指数分布与无记忆性（7 题）
• 单调变换求分布（6 题）——变换字典的落地
• 分布函数与密度的判定（7 题）——反正弦分布在这里

链接

• 同章概念：正态分布与标准化 · 无记忆性与寿命分布 · 常见离散型分布 · 概率积分变换
• 上一章：古典概型与几何概型
• 易错清单：第17章易错点
• 章节导航：第17章 随机变量及其分布 · 题库