和的分布：卷积公式

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一、一个公式，两种形态

左边是通用式，右边（真正的”卷积”）只在独立时成立。 不独立就老老实实用联合密度——见 880 基础解答 5 那道 。

推导一行：，对 求导即得。

二、定限：本节 90% 的分数在这里

卷积的积分限不是 到 ，而是让两个因子同时非零：

最常见的一种： 在 ， 在 ，则需 且 ，得

先定 的分段，再定 的限

顺序错了必错。流程：

1. 在 平面上画出 （一个带状区域）；
2. 用竖直线 常数去切，切出的 区间随 变几次形态， 就分几段；
3. 每段单独积分。

三、必背：可加性表

分布	独立相加后	附加条件
		无
		无
		必须同
		必须同
的 个和		同
		无（是 的特例）

不可加：均匀分布（ 是三角形密度）、指数分布（不同 时不是指数）、、。

四、两个值得直接背的卷积

（1）不同参数的指数之和（）：

（参数相等时公式失效，退化为 ：。）

（2）均匀 任意（ 与 独立）：

均匀分布的卷积 = 对方分布函数的差商（“滑动窗口平均”）。这条能把好几道大题变成一行。

必考

880 第十八章基础解答 8

原题 设 与 相互独立， 服从参数为 的指数分布， 服从参数为 的指数分布，求 的概率密度.

解析 ，。

两个支撑集都是 ，故需 且 ，即 （要求 ）：

另解（套通式，10 秒） ，，：

三处验证：

• ：因 （）， ✓
• ：，与”两个正的量之和不可能取到 0”吻合 ✓
• ✓

不是指数分布，也不是

“指数分布之和还是指数分布”是错的。 的相加发生在 上不是和上：

和 双指数差；最小值 参数相加。 两者绝不能混，见 max 与 min 的分布。

1000 题基础篇第3章 14

原题 设随机变量 相互独立，且 的概率密度为 的概率密度为

（1）求 的值；（2）求 的概率密度.

题源说明

OCR 原文在”（1）求 的值;“处截断，第（2）问缺失。按本题的设置（给两个独立密度、）与本章体例，第（2）问补为”求 的概率密度”——这也是这组条件唯一自然的后续。

解析

（1） 归一性：，要收敛必须 ，此时积分 。令其为 ：

（2） ，直接套”均匀 任意”的差商公式（）：

分段：

• ：两项皆 ，；
• ：，（因 ），得 ；
• ：。

另解（老实卷积，用于验算） ，需 且 （即 ）：

• ： 从 到 ， ✓
• ： 从 到 ， ✓

验证： 处左极限 ，右极限 ✓ 连续；

880 第十八章综合解答 7

原题 设随机变量 与 相互独立，其中 的概率密度为

服从参数为 的指数分布. 为 的分布函数，记 .

（Ⅰ）求 的分布函数与概率密度；（Ⅱ）求 的概率密度 .

解析 两问是两个独立的知识点拼起来：第17章的概率积分变换 + 本章的卷积。

（Ⅰ）概率积分变换

先确认前提： 在 上处处成立（在 处 ，不是零），故 在 上连续且严格单调递增，，。

（顺带写出 ： 于 ； 于 。检查 、 ✓）

对 ：

的条件： 必须是 自己的分布函数，且 连续

第17章的 880 综合选择 4 / 1000 强化 3-6 就是把 换成别人的分布函数，结果冒出混合型。 见 概率积分变换。本题老老实实用自己的 ，所以干干净净是 。

副产品：三角形密度这个具体形状在（Ⅰ）之后完全用不上了—— 的分布与 长什么样无关。这正是概率积分变换的威力。

（Ⅱ） 记 。因 ，故 与 也独立（独立性传递到函数）。

，。套差商公式（）：

• ：；
• ：；
• ：。

验证： 处 ✓；

这道题与 1000 基础 3-14 是 同一个卷积

两题都在算 ，只是 与 、以及 的来路不同（一个直接给，一个由 造出来）。 对照记结果：

会一道就会两道。880 这道多的那层壳（三角形密度 + 概率积分变换）只是把 藏起来，识破就没了。

1000 题强化篇第5章 12

原题 设某商品每天的供应量 的概率密度为

若每天的供应量相互独立，求：（1）3 天总供应量的概率密度；（2）连续 3 天中最大供应量的概率密度.

解析 一眼认出 就是 的密度（，而 ）。

（1）用可加性，不必卷积

独立同服从 ，同一个 ，故

（。）

验证： ✓

为什么 是"两个 之和"

中的 是**“等到第 次事件”**的次数。所以

这就是泊松过程的等待时间，与第17章的泊松—指数对偶是同一件事，见 无记忆性与寿命分布。 认出分布时，可加性一行就完；没认出来，就按下面的常规做法做两次卷积。

（1）常规做法：先加前两天，再加第三天

记 、。三个变量的和，拆成两次“两个变量求和”，每次都用独立变量的卷积公式。

第一次卷积：求前两天总量 的密度。，两个密度同时非零，需要 且 ，即 。所以 时，

因此

第二次卷积：把第三天加进来。

相互独立，所以由前两个变量决定的 仍与 独立，可以继续卷积：，同样由 、 定限。对 ，

所以 3 天总供应量的密度为

这两次卷积，真正要盯住的是定限和指数

先让两个密度同时非零，积分范围就是“从 到总量”。 指数部分则直接合并：，能提出积分号，里面只剩多项式。第二次完全照做，只是把第一天的密度换成前两天之和的密度。

（2）最大值：先求 ，再求导

先算 的分布函数（分部积分）：

（验证： ✓，， ✓）

：

验证： 时 ， ✓（最大值不可能很小）。

（1）和（2）用的是 完全不同的工具，别串

• 和 → 可加性 / 卷积（对密度操作）
• 最大值 → 分布函数相乘再求导（对 操作）

通式一定要背牢（ 个独立同分布）：

见 最值与次序统计量。

链接

• 方法总纲：卷积公式与可加性
• 同章：独立性的判定与反例 · 全集分解法 · max 与 min 的分布 · 积与商的分布
• 概念：联合分布与边缘分布 · 常见连续分布
• 旧知识：概率积分变换 · 无记忆性与寿命分布 · 一维随机变量函数的分布
• 易错清单：第18章易错点
• 章节导航：第18章 多维随机变量及其分布 · 题库