考研笔记

正态的线性组合与二维正态

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一、线性组合定理

独立

均值线性走，方差平方走。 特别地：

和与差的方差都是相加，绝不是相减

。 写成 是本节头号错误——方差可能变成负数，一眼就该发现。

不独立时（ 二维正态，相关系数 ）：

二、二维正态的四条特权

时，且只在这时：

  1. （一般分布只有”独立 不相关”，反向不成立）；
  2. 任意非退化线性组合都是一维正态（这是判定”是不是二维正态”的常用武器）；
  3. 条件分布还是正态：；
  4. 边缘正态（但反过来不成立——见 880 基础解答 10 与 1000 强化 5-11 两个反例）。

三、“中位数在均值处”：选择题最快的一招

正态密度关于 对称，故

选择题问”哪个概率等于 “时，只需比较阈值和均值，方差根本用不上：

四、半正态与

，则 服从半正态分布：

推导（值得会推）：

记 ：平均绝对偏差约为标准差的 80%

五、容斥消掉 的技巧

正态关于 对称，故 （第17章的对称恒等式）。于是遇到这种”关于均值对称的一对阈值”时，两项相加恰为 ，代进容斥公式后 自动消失。这是 880 综合填空 2 的全部机关。

必考

880 第十八章基础选择 2

原题 设两个相互独立的随机变量 与 分别服从 与 ，则（　）.

A. 　B. C. 　D.

解析 用”中位数在均值处”，只算均值，不必碰方差：

选项组合均值阈值相等？
A✓
B✗
C✗
D✗

选 A。

完整写法：，故，顺便算出其余三个（都不等于 ）：

本题的方差 全程没用上

"" 这个问法只关心中位数，而正态的中位数就是均值。 一旦阈值不等于均值，方差才登场（决定偏离 多远）。 看到选项里全是 ，先扫均值。

880 第十八章综合选择 3

原题 设随机变量 均服从 ，且 与 相互独立，则（　）.

A. 　B. C. 　D.

解析 A、B 是线性组合，C、D 是最值，两类要分开处理。

A、B：，，两者均值都是 ，故，两个都错。

C：用”min 配 拆成交”：

D： 是”并”，先取补：，选 C。

与 在这里不对称，因为不等号方向定死了

本题四个选项都用 。 能直接拆成交集（）， 只能拆成并集（）。 若把 D 改成 ，答案就变成 了——方向一改，答案翻个个儿。

口诀再念一遍： 与 是”交”，另两个是”并”，见 max 与 min 的分布。

1000 题基础篇第3章 7

原题 设随机变量 与 相互独立，且均服从正态分布 . 记随机变量 的概率密度为 ，则（　）.

A. 　B.

C. 　D.

解析 两步走。

第一步： 是什么？ 注意 里的 是方差：，（方差相加，——命题人特意把 设成 ，就是让和恰好是 。）

第二步：取绝对值 ⟹ 半正态。 对 ：

时 。选 D。

排除法（两刀砍完）

  • 第一刀：支撑集。 ，密度在 处必须为 。A、B 写成全实轴 ✗，只剩 C、D。
  • 第二刀：归一性。 C 的积分是 ✗。只剩 D（ ✓）。

系数 是"把左半边折到右半边"

半正态密度 原密度 （对称分布取绝对值，两侧概率叠加）。 忘了乘 就选成 C——A、C 两个选项就是留给漏乘 的人的。

配套记忆：，下一题正好要用。

880 第十八章综合选择 4

原题 设 ， 为标准正态分布函数，则 （　）.

A. 　B. 　C. 　D.

解析 这题就是上一题的续集——记号 表示 ，，。

关键一步：二维正态且 ⟹ 与 独立（二维正态的特权）。于是，记 。由半正态的期望公式（）：，所求为，选 C。

数值检查：，。合理（略小于 ，因为阈值不到一个标准差）。

三个诱饵各自对应一种错法

  • A（）：把 当成了阈值，完全没算 ；
  • B（）：把方差算成 之类，或把 错记成 ；
  • D（）： 与 只差一个开方位置（ vs ）——这是纯计算细节的陷阱。

必须背准：分子是 ，分母是 ，整体在根号里。

" 独立"只有二维正态能用

若题目只说” 均服从 且不相关”，推不出独立， 也未必正态。 本题写明是二维正态 ，才有资格用这条。 反例见 1000 强化 5-11：那里 与 边缘都是 ，但 不是二维正态。

880 第十八章综合填空 2

原题 设随机变量 与 均服从 ，且 ，则 .

解析 注意题目没说独立，也没给 ——因为都不需要。

用右上角公式（880 基础选择 1）：

关键观察：两个边缘概率之和恰好是 。因为 都是 （关于 对称），阈值 与 也关于 对称：

代入：

答案与 无关、与相依结构无关——这才是本题的设计意图

命题人给了一个关于对称中心成镜像的阈值对 ，让两个边缘项相加为 ，直接抵消掉那个""。 剩下的就是题目送的联合概率本身。

一般化： 都关于 对称（不必同分布、不必独立），则

这是第17章对称恒等式 在二维的用法，见 分布中的对称性。

反面提醒：若阈值改成 （不成镜像），两个边缘项之和是 ， 就消不掉，题目也就无解了。题目给什么阈值，是有讲究的。

880 第十八章综合解答 4

原题 设随机变量 与 均服从 ，且 与 相互独立，若 ，求 .

解析 这题同时用到 、 和正态的对称性。

第一步：把两个已知概率写下来。 记， 是白送的： 恰好是均值，正态的中位数在均值处，故，（ 依然用不上——只要 这个条件自洽， 就被它唯一确定，但答案里不会出现。）

第二步：容斥。 记 。在 内部， 的补是”两个都在 内”：

由独立性：

另解（按”哪一个是最小值”分解） 事件等价于”两个都 ，且至少一个 “。用容斥展开”至少一个”：

（第三项减掉是因为”两个都 “被前两项各算了一次；注意 ，所以第一项里 自动满足。）

两条路答案一致，可互为验算。

通式值得记（ 独立同分布，）

两个表达式恒等（展开即得），考场上挑顺手的用。

配套的还有：

——后面这些不必背，从”两个点各自落在哪一段”的 表格现推更稳。

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