考研笔记

随机符号与混合型的制造

🏠 第18章概念导航 · 多维随机变量题库

方法模板

一、随机符号引理（本节的总钥匙）

设 取值 、，且 与 独立， 的分布关于 0 对称（如 ）。则

证明一行：（用了 ）。

更强的版本（连对称性都不需要 均匀）：只要 对称，任何与 独立的 值随机变量 都满足 。

一句话记住： 对称分布乘上一个独立的随机正负号，分布完全不变

考场上一看到 、 这类式子，先检查”系数是不是只取 “——是的话直接写 ，不必分解。

二、退化分支 = 原子（混合型的唯一来源）

分支时：

  • 若某个分支 （塌成常数），它贡献一个阶梯 ；
  • 在 处跳高 ，即 在 处有原子，。

判定口诀：

系数分布里有系数连续型是混合型，原子在

三个必考量：

三、二维分布函数也照样分解

求 时，同样按离散那一维的取值拆：，注意每一支里 出现两次，两个事件通常有交集要一起处理（可能化成 ）。这是 1000 强化 5-10 第（2）问的全部难点。

四、“边缘正态 二维正态”的两个标准反例

反例甲： —— 密度不可分离（ 是奇函数之积，不影响边缘却破坏正态性）。 见 独立性的判定与反例 里的 880 基础解答 10。

反例乙：（ 独立标准正态）—— 与 的符号被锁死，第二、四象限概率为 。本节最后一题。

证”不是二维正态”的标准套路：

  1. 找一个二维正态必须满足、而本例不满足的性质（密度处处为正、任意线性组合正态、四个开象限概率都为正…）；
  2. 单独排除退化情形 。

必考

880 第十八章综合选择 5

原题 设随机变量 与 相互独立，， 的概率分布为 ，记 ，则对于 的分布函数 有（　）.

A. B. C. D.

解析 按 的两个取值分解：

那一支塌成常数 ，制造出一个原子：。

选 A。

快速验算：两个极限之差必须等于原子高度： ✓

排除法 B 说 在 处连续——但 明明有 的概率恰好等于 ，必有跳跃，B 出局。D 中 ，分布函数递减，荒谬，出局。C 的跳高是 ，出局。只剩 A。

这道题就是 1000 基础 3-2 的完整版

那题问 ，答案 ——其实就是本题的 …… 等等，。两题的 分布不同：那题 ，这题是 。代入本题公式： ✓ 对得上。 同一个公式 通吃两题。

1000 题强化篇第5章 2

原题 设 相互独立，，，，则 的分布函数为（　）.

A. 　B. 　C. 　D.

解析 先提公因式——这一步是全题的关键：，看 的取值：，即 是取值 的等概率随机变量，与 独立。由随机符号引理（ 关于 对称）：，选 D。

逐支验证（不用引理时的走法）：

A、C 里的 是给"没提公因式"的人准备的

若把 当成” 被放大 2 倍”，就会算出 之类。 里的 是随机变量不是常数， 取值 ，减 1 后才变成 ——整体系数只有 ，没有任何伸缩。 B 里的 是”只取了 那一支”的结果，也是漏了分解。

这个构造是"零信息扰动"

随机地把 翻个面，可 本来就左右对称，翻了等于没翻。 但 与 并不独立（ 完全一致！），只是边缘同分布。 这正是 880 基础选择 3 那句”边缘不能决定联合”的又一次现身——下一题会把这个 的联合结构挖出来。

1000 题强化篇第5章 10

原题 设随机变量 和随机变量 ，且 与 相互独立. 令 ，记 的分布函数为 . 求：

（1） 的分布函数 ；（2） 的值，已知 .

解析 先算系数 的分布（ 取 ，概率 ）：，关键： 有三个取值，中间那个是 ——又是一个退化分支。

（1）

由对称性 ，故

写成分段：

验证： ✓， ✓， 处跳高 ✓。 是混合型：一半概率均匀”摊”成标准正态形状，一半概率堆在 这一个点上。

（2） 这一问要求二维分布函数，同样按 分三支——注意每支里 出现两次：

逐支化简：

  • ：，概率 ；
  • ： 必然成立，只剩 ，概率 ；
  • ：两个事件相同，概率 。

代入 ：

合理性检查：。， ✓ 且 ✓。再查下界（Fréchet）： ✓ 落在 内。

每一支里的两个事件 必须一起处理，不能各算各的

支若写成 就错了——同一个 ，两个事件当然不独立。 正确做法是把两个不等式合并成 的一个区间：。 这是本题唯一的技术点，也是”二维分布函数 + 全集分解”的标准套路。

拓展

1000 题强化篇第5章 11

原题 设 独立同分布于标准正态分布 ，记

（1）证明 服从标准正态分布；（2） 是否服从二维正态分布？说明理由.

解析 第一步是把 写成闭式，别被三行分段吓住。

因 连续，，中间那支可以忽略。剩下两支：

  • ： 同号，；
  • ： 异号，。

两种情况下都有 ，而 的符号：同号时 ；异号时 。两种情况都是 ！ 所以

（几乎处处）

这一步是全题的钥匙。

（1）证明

取 各 （因 对称连续），且 由 决定，与 独立，故 与 独立。

  • ：，，得
  • ：，，得

两段统一为 ，故 ，证毕。

另证（随机符号引理，两行） 中 与 独立、 取 等概率，所以 的分布 = “把半正态 随机地放到左右两侧” = 标准正态。

（2） 不服从二维正态

理由（符号被锁死）：由 得 几乎处处成立，于是，假设 服从二维正态。因两个边缘都是 （非退化），设相关系数为 ：

  • 若 ，二维正态密度在整个平面处处为正，任何有正面积的开集概率必为正，特别地第四象限 的概率 ，与上式矛盾；
  • 若 ，则 几乎处处成立，于是 。但 ，而 与 独立，，即 以正概率发生，矛盾。

两种情形都不可能，故 不服从二维正态分布。

另证（线性组合法） 二维正态的任意线性组合必为一维正态。取，于是 。两个半正态之和的密度在 处为 （ 当 ），故 的密度在 处为 ；而任何非退化正态 的密度在 处等于 。矛盾。

本章第二个"边缘正态但联合不正态"的反例

第一个是 880 基础解答 10 的 密度（有联合密度，但不可分离）； 这一个更极端—— 根本没有联合密度吗？ 有的： 的概率全部集中在第一、三象限，在那里密度是 ，第二、四象限为 。 所以它有密度，但密度不是处处为正的钟形，而是”只保留两个象限、并加倍”的正态。

两个反例的共同教训：

二维正态（更不能推出）

反过来才对： 二维正态 边缘正态；且此时 （这是二维正态的特权，一般分布没有）。

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