随机变量与分布函数

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核心问题

第16章的对象是事件（集合），要一个一个地问”这件事概率多少”。本章换成随机变量，一次性把所有问题打包：

知道了 ，任何关于 的概率都能算出来。 分布函数是随机变量的”完整档案”，这是本章全部内容的出发点。

核心定义 / 定理 / 结论

随机变量

定义在样本空间上的实值函数 。它把”结果”翻译成”数”，于是可以做加减、求平均、比大小——第19章的期望方差全靠这一步。

分布函数的三条性质

这三条是充要的：任何满足它们的函数都是某个随机变量的分布函数。所以判定题就是逐条核对，顺序是 (ii) → (i) → (iii)（越靠前越省力）。

为什么是右连续

因为定义取的是 （闭）。于是

若定义成 ，就会变成左连续——这只是约定，但一旦定了，所有区间公式都跟着它走。

四种区间概率（离散型必须分清）

区间	公式

连续型时四者相同（因为 ）；离散型与混合型必须逐个分辨。

三种类型

类型	的样子	有密度吗
离散型	阶梯函数，跳跃点即取值点	无（有分布律）
连续型	处处连续，	有
混合型	连续段 + 若干跳跃	无（只能写 ）

注意右边不是” 是连续型”——连续型是更强的条件。选项里出现”连续型随机变量”而条件只给”每点概率为 0”，那就是把充分条件写成了充要条件。

密度函数的两条性质

同样充要。 判”某式能否当密度”时，核对顺序是先非负、再算积分——被偷掉的那一条几乎总是”非负”。

密度可以无界（如反正弦分布 在端点发散），它只需非负可积。

换元后积分值怎么变

候选	积分值	能当密度吗
、		能（平移与翻转保积分）
		只有 时能
、	无定论	不能保证

这个 就是变换公式里 因子的雏形。

线性组合何时还是分布函数

题目写成 时，把 整体当第二个系数：、、。

由 的表达式定常数

分段的 含待定常数时：

1. 在分段点让左右极限相等（连续型的 必连续）；
2. 用 补足方程；
3. （在可导处）。

典型题型

1. 判定某函数能否作分布函数 / 密度
2. 线性组合的系数条件
3. 由分段 定常数并求密度（反正弦分布是标准样本）
4. ” 的充要条件”型辨析
5. 由分布律写分布函数（阶梯，四种区间要分清）

图示 / 直觉

把 想成”从左往右累积的水量”，总量为 1：

• 离散型：水一桶一桶地倒在几个点上 → 阶梯；
• 连续型：水均匀铺开 → 光滑上升；
• 混合型：既有铺开的一片，又有几处集中倒的 → 有台阶的斜坡。

的形状与 的形状的对应（以正态为例）：

的特征	的特征
最大值点	拐点
最大值	拐点处的斜率
拐点	斜率变化最快处

” 的极值点 = 的拐点”对任何单峰密度都成立（因 ）。

常见误用

1. 判定题只查一条性质

三条必须全查。最常漏的是规范性（）——而它恰恰最好验。

2. 忘了密度必须非负

""不足以让 成为分布函数——还要 保证单调。见 880 基础选择 3 的 D 项。

3. 混淆” 连续”与” 是连续型”

第一个箭头不可逆，第二个可逆。

4. 离散型直接用 算

左端点必须用左极限：。写成 会漏掉 。

5. 分布函数写不全 / 分段点归属写错

解答题必须写出 上的全部分段。分段点要让 右连续：

6. 以为密度必须有界

反正弦分布的密度在端点发散，仍是合法密度。密度不是概率，它可以大于 1、可以无界。

7. 伸缩变换忘了雅可比因子

的积分是 2，不是 1。正确的是 。

与旧知识的连接

高数：

• 是变限积分， 是微积分基本定理；
• 是广义积分的收敛性；
• 判分段函数连续、求拐点（）、换元积分——全是高数第一、三章的手艺。

第16章：分布函数把”每个事件问一次”压缩成”一个函数管全部”。事件运算在这里变成区间运算：，减法公式的原样复用（取 、，此时 ）。

后续章节：

• 第18章：，三条性质升级为四条（多一条”矩形不等式”）；独立性 ；
• 第19章：，一切数字特征都从 或 算出；
• 第21章：经验分布函数 用样本去逼近真实的 ，是全部统计推断的起点。

题型训练

• 分布函数与密度的判定（7 题）——本页的直接落地
• 离散分布：二项、泊松、几何（10 题）——阶梯型 与四种区间
• 概率积分变换与混合型分布（6 题）——混合型的完整写法

链接

• 同章概念：常见离散型分布 · 常见连续型分布 · 分布中的对称性 · 随机变量函数的分布
• 上一章：样本空间与事件代数 · 概率公理与容斥原理
• 易错清单：第17章易错点
• 章节导航：第17章 随机变量及其分布 · 题库