离散分布：二项、泊松、几何
方法模板
一、四个分布的分布律
| 分布 | 记号 | 分布律 | ||
|---|---|---|---|---|
| 0–1 | ||||
| 二项 | ||||
| 泊松 | ||||
| 几何 |
（
二、由归一性定常数（送分题的标准动作）
遇到分布律带待定常数，一律求和令其为 1。 三个必用的级数：
三、泊松的三个高频操作
(1) 由
特别地
(2) 奇偶概率（取半和）：
来源：
(3) 参数越大越偏右（随机序）：
四、二项分布的两条结构性质
可加性（要求
合并结果：若一次试验有多种互斥结果，把其中若干种合并成”成功”，重复
注意试验次数
五、最可能值（第16章公式，本章继续用）
六、几何分布的两条
“偶数次首次成功”的概率是
七、由离散分布律写分布函数
阶梯函数、右连续、在每个取值点跳
必考
880 第十七章基础解答 1
原题
设离散型随机变量
| 0.2 | 0.3 | 0.5 |
求：(Ⅰ)
解析
(Ⅰ) 从左往右累加，每到一个取值点跳一次：
（
(Ⅱ)
也可以用
(Ⅲ)
离散型的区间概率 必须逐点数，不能直接
通用公式是
左端点要用左极限，因为
已经把 算进去了。 本题 (Ⅲ)：
✓。若误写成 ，就漏掉了 这个点。 四种区间的写法（离散型必须分清）：
区间 公式 连续型时四者相同（因为
），离散型必须逐个分辨。
880 第十七章综合填空 5
原题
设离散型随机变量
解析
归一性：
回代之后会发现这其实是
，不是
即
。题面里的 是干扰项——很多人一看 就认定 ，进而答 。 泊松分布律的标准形状是
：分子的 和指数上的 必须是同一个数。 本题分子没有 （相当于 ），指数却写着 ，两者不匹配，所以常数 要来补差额： 。 关键的级数：
（不是 1）。
880 第十七章综合填空 3
原题
设随机变量
解析
第一步，定
（
第二步，走补事件。
（数值约
相邻两项的比值是泊松最好用的工具
令它等于 1 得
——所以 当且仅当 。本题 ，直接读出 ，一步都不用算。 顺带得到泊松的最可能值：比值
，所以 （ 为整数时 与 并列）。 与二项的
对照：泊松是 在 时的极限，而 ，两个判据自洽。
880 第十七章综合填空 4
原题
在伯努利试验中，设事件发生的概率
解析
用
这个形状值得单独记
- 恒小于
（因为 且 ）：奇数位置总是占优，第 1 次就成功的概率 独享最大的一块； （ ）时趋于 0：几乎必然第 1 次就中； （ ）时趋于 ：成功遥遥无期，奇偶各半。 配套的奇数版：
，两者相加为 1 ✓ 本题
：偶数 ，奇数 。
另解（一步递推，不求和）
设
- 第 1 次成功（概率
）： 不发生； - 第 1 次失败（概率
）：从第 2 次开始重新计数，此时原来的”偶数”变成新计数下的”奇数”，故条件概率是 。
这条”重新开始”的论证用的正是几何分布的无记忆性，见 1000 强化 2-1 的 ①。
1000 基础第2章 2
原题
设随机变量
(A)
解析
第一步，由
第二步，代入
三个错项各对应一步失误
- (B)
：算出了 就交卷（忘了 ）； - (C)
：把 误算成 的分子写反，或用了 ； - (A)
：把 弄成 或直接凑数。 “至少一个”永远先写
——这是第16章反复强调的，本章继续。
1000 基础第2章 4
原题
随机试验
(A)
解析
关键：
在每一次试验里，
选项 (C)(D) 把
写成 4，这是本题的主陷阱 误区：”
是 2 次试验的、 也是 2 次试验的，加起来就是 4 次。” 但
和 数的是同一批 2 次试验，不是两批。而且 不独立（ 大则 必小，因为 ），所以二项可加性 根本不适用（那条要求独立且 相同，这里两条都不满足）。
验证：直接算分布律
的取值是 ：
与
的 完全吻合 ✓ 顺带一提：
的联合分布叫多项分布，第18章会正式登场。本题是它的第一次露面。
拓展
1000 强化第2章 2
原题
设
(A)
解析
第一步，
两式相加除以 2 得偶次项之和
第三步，比大小。 因
且
三个自查点
✓（偶与奇是完备组）； ： ， ——几乎必然取 0（偶数），合理； ： ——分布摊得很开，奇偶各半，合理。 偶数永远略占优势，因为 0 也算偶数，而
小的时候 独占鳌头。
"取半和"这一招，本章是第二次用
章节 题 母函数 第16章 [[20-Problems/Math/Probability/Chapter-16/topic-bernoulli-trials-and-repeated-experiments#^p-ll880-c-fill-6 880 综合填空 6]]（伯努利发生奇数次） 第17章 本题（泊松取奇数） 通用公式：
其中
是概率母函数。泊松的 ， ，直接给出上面两式。 两章同一招，换个分布再考一次。
1000 强化第2章 3
原题
设
(A)
解析
先否掉 (A)(B)。 题目没有说
再判 (C)(D)：
对
两个和式相消，只剩最后一项。 所以
直觉：参数越大，分布整体越往右挪，"落在
左边"的概率就越小 这叫随机序（
随机地大于 ，记作 ）。 分布函数越低，随机变量越大——这个”反向”关系是随机序最容易记反的地方。用一个极端例子固定方向：
时 几乎必然很大， ； 时 几乎必然为 0， （ ）。大的那个 低。 同族结论：
关于 、 关于 、 关于 ，都有同样的单调性。
(A)(B) 是"分布层面"与"样本层面"的混淆
这是概率论里一类通用错误：”
的分布比 靠右”推不出”每次都有 ”。 同类错误在第19章还会出现：
推不出 ，更推不出 。
1000 强化第2章 5
原题
设有 40 个盒子，100 个球，每个球等可能地放入任一盒子中，则指定某一个盒子中最有可能出现的球的个数为 ____.
解析
第一步，识别分布。 盯住指定的那一个盒子，每个球”进不进这个盒子”是一次伯努利试验，成功概率
验算（比值法）：
所以
期望是 2.5，最可能值是 2—— 不要四舍五入
四舍五入会得到 3（或者”2 和 3 并列”），都是错的。正确判据永远是
，本题 ，向下取整得 2。 只有
恰为整数时才有两个并列最大值。 本题 不是整数，答案唯一。
与第16章 880 综合解答 2 是同一个公式的第二次考察
章 题 16 880 综合解答 2（20 个样品，15% 次品） 20 0.15 3.15 3 17 本题（100 球 40 盒） 100 2.525 2 两道题的期望都恰好是整数（3 与 2.5……本题不是），命题人都在这个点上设了坑。见 第16章 伯努利概型。
为什么"盯住一个盒子"就化成了二项
100 个球在 40 个盒子里的完整分布是多项分布，但只关心某一个盒子时，其余 39 个盒子可以合并成”没进来”这一类——这正是本节 1000 基础 2-4 的”合并结果”原则。
第18章讲多维分布时，这条会正式写成”多项分布的边缘分布是二项分布”。
1000 强化第3章 2
原题
设
(A) 均匀分布 (B) 泊松分布 (C) 指数分布 (D) 二项分布
解析
题目问的是可加性（再生性）：独立同族的两个随机变量相加，和还落在这一族里吗？
(A) 均匀分布：
(B) 泊松分布：
无条件成立（
(C) 指数分布：
(D) 二项分布：
(D) 是本题真正的辨析点，必须说清楚"一定"二字
严格地说，(D) 在
时也成立。所以两个选项都”可以”成立。 “一定”的含义是”不需要附加条件”：
分布 可加性 附加条件 泊松 无 二项 必须相同 正态 无 无 题目只给了”
相互独立”这一个条件，没有给”参数相同”，所以只有泊松能保证。这就是标准答案取 (B) 的理由。 如果题目改成”
独立同分布”，(B)(D) 就都对了——这时 自动相同。做题时留意题面给的到底是”独立”还是”独立同分布”。
四个具有可加性的分布，串成一句话记
均匀与指数都不可加——这两个是最常被误认为可加的。
判据（第18章会正式讲）：看特征函数/母函数相乘之后还是不是同一族的形式。 泊松的母函数
相乘就是 ，指数相加，天然可加。
链接
- 方法总纲：常见离散型分布
- 同章：指数分布与无记忆性 · 分布函数与密度的判定 · 非单调与分段变换
- 概念：随机变量与分布函数 · 无记忆性与寿命分布
- 上一章：第16章 随机事件及其概率 · 伯努利概型与重复独立试验（最可能值、取半和都在那里第一次出现）
- 下一步：多项分布见第18章；期望方差见第19章；泊松逼近见第20章
- 易错清单：第17章易错点
- 章节导航：第17章 随机变量及其分布 · 题库