考研笔记

指数分布与无记忆性

🏠 第17章概念导航 · 随机变量题库

方法模板

一、指数分布的三个式子

做题只用最后一条。 指数分布的题几乎不需要积分——一律换成生存函数 ，乘除立刻化简。

二、无记忆性（平移型）

“已经用了 小时”这条信息完全不改变”还能再用 小时”的概率。

连续型中，指数分布是唯一具有无记忆性的分布；离散型中是几何分布

三、无记忆性的第二种形态：尺度型

除了”平移不变”，还有一族分布满足**“倍数不变”：与无关，典型代表是帕累托型**（幂律尾），例如 ：

生存函数是型平移无记忆；是型尺度无记忆

两者靠”取对数”互换： 尺度无记忆 平移无记忆。

四、泊松与指数的对偶

长度的时段内事件数相邻两次事件的间隔

桥梁只有一句话：

内一次都没发生

看到”泊松流”问”间隔”，或看到”指数寿命”问”某段时间内次数”，就用这条来回翻译。

五、威布尔分布：无记忆性的失效

含义与 的关系
退化为 无关（无记忆）
故障率递增（老化）随 增大而减小
故障率递减（早期失效）随 增大而增大

指数分布是威布尔在 处的特例，也正是”无记忆”与”有记忆”的分界线。

六、混合指数：无记忆性一定失效

若 的生存函数是两个指数的加权和

则它不再无记忆。

原因（重要）：条件概率里藏着一次贝叶斯更新——“已经活过 “这条信息会把权重往寿命长的那一支移，从而抬高后续存活概率。

混合会制造记忆

必考

880 第十七章基础填空 1

原题

设随机变量 服从参数为 的指数分布，则 ____.

解析

直接用无记忆性（，）：

逐步验证（第一次做时建议写出来）：

（第二个等号用了 。）

无记忆性的算术本质： 指数函数把除法变成减法

只要生存函数是 这个形状，条件概率里的 必然被约掉。

答案里不含 16，只含 8（= 剩余时长），这是自查点：无记忆性题的答案只与”还要多久”有关。

880 第十七章综合填空 7

原题

设随机变量 服从参数为 1 的指数分布， 为大于零的常数，则 ____.

解析

注意这次是""，要先取补。

无记忆

直接算验证：

条件概率里的横线只能加在竖线前面——第16章的老规矩

竖线后面的 原封不动，只有前面那个事件取了补。见 第16章 独立性判定与互斥辨析 的方法模板。

答案与 无关（ 可以是 0.001 也可以是 ），正是无记忆性的招牌。

880 第十七章基础填空 4

原题

设自动机床在任何时长为 的时间间隔内发生故障的次数 服从参数为 的泊松分布， 表示相继两次故障之间的时间间隔，则当 时， ____.

解析

关键是把”间隔超过 “翻译成”次数为 0”。这段长为的时间里一次故障也没发生，，代入泊松分布律取 ：

这就是"泊松流的间隔服从指数分布"的证明

得到 即 ，正是 的分布函数。

事件数间隔

两者共用同一个 （单位时间的平均发生率）。这条对偶在应用题里双向使用：

题面给的要求的用哪一侧
单位时间平均 次故障下次故障多久后来指数
寿命 一年内坏几次泊松

也解释了指数分布为什么无记忆：泊松流的”未来增量与过去无关”（独立增量性），翻译到间隔上就是无记忆性。

880 第十七章基础解答 3

原题

设随机变量 服从参数为 的指数分布，对 进行三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 3 的概率为 ，求 的值.

解析

这是第16章的伯努利概型 + 本章的指数分布。

记单次观测”大于 3”为成功，成功概率，三次独立观测，“至少一次成功”走补事件：

于是

（数值上 。）

别把 取成

“观测值大于 3”是成功，所以 ，而”三次全失败”是 。

弄反了会得到 ，即 ——差了近三倍。

自查： 很接近 1，说明单次成功概率不小；算出 合理。若算出 ，则 ，立刻发现错。

这个数字是命题人在提示

见到分母是立方数（27、64、125）而分子只差 1，几乎必然是”1 减三次方”的结构。直接开三次方，不必解方程。

拓展

1000 强化第2章 1

原题

设 是随机变量， 是正数， 是正整数.

① 若 ，则 与 无关；

② 若 的分布律为 ，则 与 无关；

③ 若 ，则 与 无关；

④ 若 其他 则当 时 与 无关.

上述结论中正确的个数为（　）.

(A) 1　　(B) 2　　(C) 3　　(D) 4

解析

四条全对，但分属两种不同的”无记忆”。逐条验证——统一动作是先算生存函数。

① 几何分布（平移型）： 即 （），

与 无关。正确。（几何分布是离散型里唯一无记忆的。）

② 裂项分布（尺度型）：注意 ，裂项求和：

与 无关。正确。

③ 指数分布（平移型）：

与 无关。正确。

④ 帕累托型（尺度型）：

与 无关。正确。

个

这道题真正在教的是： "无记忆"有两种，命题人把它们混在一起

类型生存函数不变的操作本题
平移无记忆 / 加一个常数①③
尺度无记忆 / 乘一个常数②④

注意题面的措辞：①③ 问的是 （加法），②④ 问的是 （乘法）。四条的形式各自匹配自己那一类，所以全对。

两类靠对数互换：若 尺度无记忆，则 平移无记忆。验证 ④：，

即 ，果然是指数分布。② 与 ④ 是”取对数后的指数分布”。

别看到 ②④ 的问法是乘法就以为它错了

常见误判：认为”无记忆性只有平移那一种，②④ 问的形式不对，所以是错的”。

但题目问的是”与 （或 ）无关”——这是一个具体的计算结论，不是”是否符合无记忆性定义”。算出来是常数 ，就是对的。

判据：题目问”与某某无关”时，老实算出条件概率，看变量有没有被约掉。

1000 基础第2章 10

原题

设某种元件的使用寿命 的分布函数为

其他

其中 为大于零的参数。求概率 与 ，其中 .

解析

（一）生存函数直接取补：

（二）条件概率。因 ：

这个答案 含 ，这才是本题的重点

与指数分布对照：

分布条件概率含 吗
不含（无记忆）
威布尔含（有记忆）

只有 时，， 才被约掉，退化成 ，即 。

的物理含义：故障率的走向

威布尔分布的故障率函数（单位时间条件失效率）为

现实对应
递减早期失效（次品先坏，越用越可靠）
常数 随机失效（指数分布，无老化）
递增老化/磨损（越用越容易坏）

这三段合起来就是可靠性工程里著名的”浴盆曲线”。

指数分布之所以特殊，是因为它恰好卡在”不老化”这个临界点上——故障率恒定，元件永远”和新的一样”。

1000 强化第2章 9

原题

某人在超市里买了 10 节甲厂生产的电池，又买了 5 节乙厂生产的电池。这两种电池的寿命（以小时计）分别服从参数为 和 的指数分布。他任取一节电池装在相机里。求：

(1) 此电池寿命 的概率密度；

(2) 若用了 40 小时电池仍有电，还可以再用 20 小时以上的概率.

解析

(1) 全概率公式（第16章）+ 指数密度。

记 取到甲厂，取到乙厂：，条件密度分别是 与 ，加权：

（ 时为 0。）

验证归一性： ✓

(2) 生存函数同样是加权和（这一步比先算密度再积分快得多）：

数值：分子 ；分母 。

混合指数不再无记忆——这是本题的全部意义

如果盲目套无记忆性，会答成

与正确答案 差了 13%。

每一支单独看都是无记忆的，混合之后整体却有记忆。 无记忆性不是”可以逐支验证”的性质。

为什么混合会制造记忆：这是一次 贝叶斯更新

“用了 40 小时还没坏”这条信息，本身就是关于电池来自哪个厂的证据。用第16章的贝叶斯公式：

甲厂的可信度从 掉到 ——因为甲厂电池平均只能用 20 小时，活过 40 小时更像是乙厂的手笔。

权重移向长寿命的那一支，后续存活概率自然被抬高：。

验算（用后验权重重新做一次预测）：

这正是 第16章 全概率与贝叶斯 里”更新后再预测”三段式的原样复用，只是把离散观测换成了连续寿命。

一句可以记住的结论

混合寿命分布的剩余寿命越用越长

因为活得越久，越说明自己属于长寿命的那一类。这在可靠性、保险精算里叫 “选择效应”，是威布尔 （早期失效）之外制造”故障率递减”的另一条路径。

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