单调变换求分布
方法模板
一、两条路：分布函数法与公式法
分布函数法（万能，推荐）
公式法（只对严格单调可导的
考场上优先走分布函数法：它不要求单调，不容易漏绝对值，而且顺手就把
二、四步流程（分布函数法）
- 先定
的取值范围——把 的取值范围代进 。这一步定了答案的分段结构，漏掉必错。 - 写
，把不等式解成关于 的区间。 递增： ，得 ； 递减： ，得 。
- 用
表示（连续型时不必区分 与 ）。 - 求导得
，并写全分段（范围外补 0）。
三、几个必须一眼认出的变换
| 变换 | ||
|---|---|---|
| 柯西 | ||
| 任意连续型 |
前两行与最后一行互为逆变换，这就是计算机生成随机数的原理。见 概率积分变换。
四、常见
| 分布 | |
|---|---|
| 柯西 | |
五、自查三件事
写完答案必查：
？若出现负号，多半是漏了绝对值或漏了 ； ？至少心算一下端点； 在分段点连续？ 连续型时 必连续。
必考
880 第十七章基础解答 4
原题
设随机变量
求
解析
第一步，定范围。
第二步，先把
第四步，求导：
自查：
递减变换的那个
是本题唯一的技术点
若忘了翻，会得到
——这个函数在 上递减，一眼就不是分布函数。 自查捷径：
必须单调不减且从 0 爬到 1。 算完扫一眼形状就能抓住漏项。
是帕累托分布（幂律尾） 它满足尺度无记忆性：
，故
与 1000 强化 2-1 的 ④ 是同一族。“倒数变换把有界分布变成重尾分布”是制造帕累托的标准手法。
880 第十七章基础解答 5
原题
设随机变量
解析
第一步，定范围。
第二步，
这个结论有名字：
与 是同一个分布（ 在 时密度为 ）。 用途：
- 生成指数随机数：有了
就能造 ，只要取 ； - Box–Muller 变换：生成标准正态随机数时，用
作半径平方、 作角度； - 第21章
分布的第一次露面。
一般化：
时
系数决定参数：
给 ， 给 。 别记反了：系数越大，
越分散， 越小。
1000 基础第2章 7
原题
设随机变量
(A) 几何分布 (B) 标准正态分布 (C)
解析
与上一题同一变换，系数从 2 换成 1。
排除其余三项：
- (A) 几何分布是离散型，而
显然连续（ 连续、 连续严格单调）。 - (B) 标准正态在
上取值，而 恒成立。 - (C)
分布同样在 上取值且对称。
选择题可以只看 取值范围就秒杀
。 四个选项里只有指数分布取值恒正且连续——几何是离散的，正态与
都能取负值。一步排除三个。 判分布类型时，先看支撑集（取值范围），这比算密度快得多。
与 880 基础解答 5 是同一道题，一个填空一个解答
题 变换 结果 880 基础解答 5 ，要写出密度 1000 基础 2-7 ，只要认出类型 同一个模板，一个考计算、一个考识别。
1000 基础第2章 9
原题
设
解析
第一步，定范围。
第二步，
自查：区间长度
分母被约得干干净净——这是柯西分布的定义方式
柯西分布就是”角度均匀”的产物：在原点向随机方向（角度
）射一条射线，与直线 的交点纵坐标就服从柯西分布。
本题是这句话的逆命题。
恰好抵消，正是因为柯西密度是从这个几何模型导出来的。 这也解释了柯西分布为什么没有期望：角度接近
时射线几乎与直线平行，交点跑到无穷远，尾巴太重（ ， 发散）。第19章会用到这个反例。
另解（分布函数法）
对
这条路顺带把
拓展
880 第十七章基础解答 6
原题
设随机变量
解析
第一步，定范围。
第二步，判单调。
代入柯西的
第四步，求导。 记
自查：
✓（分子分母都非负）； ： 时 ， ， ✓ ： 时 ， ， ✓
在 处不可导，但这不影响本题 公式法要求
存在，而这里我们用的反函数是 （多项式，处处可导），不是 。
若硬按
求 ，会在 处发散。从 出发反解 ，这个麻烦就不存在了——这也是分布函数法更稳的一个理由。
两次翻转，负号正好抵消
变换
里有两处”翻转”：解不等式时的 ，以及求导时的 。 两个负号相乘为正，所以
最终非负。若只做了一次翻转，答案会是负的，一眼可查。
1000 强化第3章 5
原题
设
解析
第一步，化简变换。 这是本题唯一的难点——取对数看清
第二步，解不等式。 对
关键：
第三步，用
自查：
这个变换 不单调，公式法直接用会出错
在 上： 时 ， ； 时 ， 。 在
上它其实是严格递减的（ 时 随 增大而减小），所以本题侥幸可以用公式法。 但若
的支撑跨过 （例如 ）， 在 处取最小值 0，函数先降后升，公式法就彻底失效了。
本题因为
恰好只占对称轴一侧，才没出问题。分布函数法从头到尾不需要判单调，这是它更稳的地方。
遇到"变量出现在指数上"，第一动作是取对数
取完对数往往变成熟悉的多项式或平方，不等式立刻能解。这是高数里处理幂指函数的老办法，在这里原样搬过来。
链接
- 方法总纲：随机变量函数的分布
- 同章：非单调与分段变换 · 概率积分变换与混合型分布 · 指数分布与无记忆性
- 概念：概率积分变换 · 常见连续型分布
- 高数接口：反函数求导、复合函数求导、变限积分求导
- 下一步：二维情形的变换与卷积公式见第18章
- 易错清单：第17章易错点
- 章节导航：第17章 随机变量及其分布 · 题库