考研笔记

分布函数与密度的判定

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一、分布函数的三条性质（判定题的全部依据）

单调不减；（规范）；右连续：

这三条是充要的——任何满足它们的函数都是某个随机变量的分布函数。所以判定题就是逐条核对，通常在第 (ii) 条上就能否掉一半选项。

二、密度函数的两条性质

同样是充要的。 判”某个式子能不能当密度”时，核对顺序是先看非负、再算积分。

换元后积分值怎么变（这是本节选择题的唯一考点）：

候选积分值能否当密度
（令 ，）能
能
，只有 时能
无定论不能保证
无定论不能保证
只有平移与翻转保积分，伸缩要配一个的因子

正确的伸缩写法是 。

三、三种类型的随机变量

类型 的样子判据
离散型阶梯函数，跳跃点即取值点 处处右连续但有跳
连续型处处连续且可写成积分
混合型连续段 + 若干跳跃二者都不是
在处的跳跃高度

推论（高频选择题）：对一切处处连续注意右边不是” 是连续型”——存在 连续但不绝对连续的怪例（考研不涉及，但”连续型”是更强的条件，写在选项里就是错的）。

四、线性组合何时还是分布函数

是分布函数
  • 来自 ；
  • 来自单调不减。

题目写成 时，把 整体当第二个系数：条件变成 、（即 ）、。

五、由 的表达式定常数

分段给出的 含待定常数时，用规范性 + 连续性联立：

  1. 在分段点让左右极限相等（连续型的 必连续）；
  2. 用 、 补足方程。
（在可导处）

必考

880 第十七章基础选择 1

原题

设随机变量 与 的分布函数分别为 与 ， 是某一随机变量的分布函数，则（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

把 看成系数为 与 的凸组合。

条件一（规范性）： 时 ，故，条件二（单调不减）： 都单调不减，要保证任意组合都单调不减，必须且（即），逐项核对：

选项结论
A ✓✓ ✓通过
B ✗否
C ✗✗否
D ✗否

先算 ，三个选项一秒出局

规范性是一个纯算术条件，比单调性好验。本题 B、C、D 全都栽在 上，根本用不着讨论符号。

判定题的通用顺序：规范性 → 单调性 → 右连续。 越靠前越省力。

880 第十七章基础选择 3

原题

下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数的是（　）.

A.

B.

C.

D. ，且

解析

A： 在 上递增、 上递减，不单调；而且 ，规范性也垮了。否。

B：

严格递增且处处连续，三条性质全满足。通过（这是柯西分布的分布函数）。

C：，规范性不满足。否。

D： 只被要求积分为 1，没有被要求非负。取

其他

此时 在 上递减，不是分布函数。否。

D 项是本题真正的考点

""只保证了规范性，没保证单调性。分布函数要求 。

密度的两条性质缺一不可，而选项里最常被偷掉的永远是”非负”那一条。

顺带记住 B 项：柯西分布的分布函数是 ，密度是 。本章 880 基础解答 6 与 1000 基础 2-9 都要用它。

880 第十七章基础选择 4

原题

设 是随机变量，对任意实数 ， 的充分必要条件是（　）.

A. 的概率密度 是连续函数　　B. 的分布函数 是连续函数

C. 为离散型随机变量　　D. 是非离散型随机变量

解析

核心恒等式：，（因为 右连续，，而 。）

于是

对一切对一切处处连续

其余三项：

  • A： 连续是比 连续更强的要求（ 存在就已经蕴含 连续）。而且许多常见密度（均匀分布、指数分布）在端点处不连续， 却仍连续。所以 A 是充分不必要。
  • C：离散型恰恰在取值点上 ，方向反了。
  • D：“非离散”包含混合型，而混合型有跳跃点（那里 ）。所以 D 是必要不充分。

" 连续"与" 是连续型"不是一回事

连续型连续对一切

第一个箭头不可逆（存在 连续却没有密度的怪例，考研不涉及）。第二个箭头可逆，正是本题。

考场判据：选项里出现”连续型随机变量”而条件只说了”每点概率为 0”，那就是把充分条件写成了充要条件。

880 第十七章基础解答 2

原题

设连续型随机变量 的分布函数为

其中 。求：(Ⅰ) 常数 的值；(Ⅱ) 的概率密度；(Ⅲ) .

解析

(Ⅰ) 用连续性列两个方程。 题目已声明 是连续型，故 处处连续，在两个分段点上做衔接：

两式相加得 ，相减得 ：

(Ⅱ) 求导。 在 上

其他

(Ⅲ) 用 直接算，比积分快：

这是 反正弦分布，它的密度在两端发散

密度可以无界——它只需要非负、可积，不需要有界。很多人在这里犹豫，以为算错了。

反正弦分布的来历：单位圆上均匀取一点，其横坐标服从 的反正弦分布（圆周上等弧长的两段投影到 轴，靠近端点的那段更短，所以密度更大）。它在物理上描述简谐振动质点位置的分布——在两端速度最慢，逗留时间最长。

另解（(Ⅰ) 用规范性 + 一个衔接点）

也可以只用一个衔接点加上 ：由 得

再代回 得 。结论相同，但要多算一个积分——分段点衔接那条路更短。

880 第十七章综合选择 1

原题

设 为随机变量 的概率密度，则下列选项可作为某一随机变量的概率密度的是（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

四项的非负性都自动满足（），所以只需算积分。

A：令 ，，积分限对调：

B：令 ，：

C： 只用到 在 上的值，积分与 1 毫无关系。反例：， 在 上。则 ，积分 。

D：反例：同样取 ， 在 ，积分 ——这次碰巧成立。再取 ，， 在 ，积分 。不能保证，

"平移与翻转保积分，伸缩不保"——一句话覆盖全部四项

A 是”翻转 + 平移”（），所以保。B 是伸缩，差一个因子 2——正确写法是 。

这条规律就是第六节”单调变换求密度”里那个 因子的雏形： 时 。见 随机变量函数的分布。

D 项不能只举一个"碰巧成立"的例子就选它

判定题问的是”可作为”，严格讲要求”对任意密度 都成立”。 在某些 下成立、某些下不成立，所以不能选。

反过来，A 项对一切 都成立，这才是”可作为”。

拓展

1000 基础第2章 1

原题

设 是连续型随机变量， 是常数，则随机变量 的分布函数间断点个数为 ____.

解析， 就是 向右平移 个单位。 连续型 处处连续 处处连续。

个

平移不改变任何"分布形状"性质

连续性、间断点个数、密度的形状（只是整体挪了位置）全都不变：

会改变的只有位置参数（期望加 ），不变的是尺度参数（方差不变）。这条在第19章会被反复使用。

对照：什么变换会制造间断点？截断与压缩——把一段区间压成一个点。本章 880 综合选择 4 的 就是把 整段压到 ，于是 成为跳跃点。

1000 强化第2章 4

原题

设随机变量 的概率密度 ，则 不可能服从（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

条件是”密度处处不等于 1”，所以要找出密度会取到 1 的那个分布。

(A) ：，密度最大值，永远取不到 1。可能。

(B) ：注意 ，，，可能。

(C) ：，在 时趋于 2，在 时趋于 0，连续地扫过 ，必然经过 1：，取到了 1，与条件矛盾。不可能。

(D) ：密度只有两个值——区间内是 ，区间外是 ，都不是 1。可能。

三类分布的"密度值域"速查

分布密度的取值范围
，上界由 独家决定
，连续扫过整个区间
只有 与 两个值

正态与指数都是”连续扫过”，所以只要上界超过 1 就必然取到 1；均匀分布是”两个孤立值”，即使 也未必等于 1。

本题若把 (D) 换成 ，密度恒等于 1，那它就成了答案。命题人特意用 （密度 ）避开这个陷阱。

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